Ero sivun ”Mahtavuus” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
→Joukkojen vertaaminen: selvemmin, fix |
p →Joukkojen vertaaminen: välilyönti |
||
Rivi 19:
Viimeinen väite saadaan kahdesta edellisesta tuloksesta [[Cantorin–Schröderin–Bersteinin lause]]en avulla.
Esimerkiksi [[luonnollinen luku|luonnollisten lukujen]] joukko <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ... \}</math> on yhtä mahtava [[osajoukko]]nsa <math>\{2, 4, 6, ... \}</math> kanssa. Tämä nähdään kahdella tavalla. Parinmuodostuksessa saadaan parijono <math>\{ (1,2), (2,4), (3,6), ... , (n,2n), ... \}</math>, jossa pariksi valitaan toisesta joukosta aina kaksi kertaa suurempi luku. Käänteinen parinvalinta toimii niin, että parillisen luvun pariksi valitaan aina puolet pienempi luku. Tätä voisi jatkaa äärettömän monta kertaa ja siksi todetaankin, että parilliset luvut ja luonnolliset luvut ovat yhtä mahtavat.
Toinen menetelmä on keksiä joukkojen välille kuvaus, jolle löydetään käänteiskuvaus. Tällainen kuvauspari on funktio <math>f(x) = 2x</math> ja sen käänteisfunktio <math>f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x</math>. Näillä voidaan kuvata kaikki [[lähtöjoukko|lähtöjoukon]] alkiot [[maalijoukko|maalijoukon]] alkioiksi ilman, että yksikään alkio jäisi kuvaamatta. Funktio ja sen käänteisfunktio ovat bijektioita, ja joukot ovat yhtä mahtavia.
| |||