Ero sivun ”Mahtavuus” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Lisäsin sanan "sitä" lauseeseen "Kardinaliteetti sen sijaan on sanana neutraali ja käytetään äärellisten ja äärettömien joukkojen yhteydessä." Ja sanan "mitä" sanan "mikä" tilalle lauseeseen "Kardinaliteetti sen sijaan on sanana neutraali..." |
selvennystä, muotoilua, turhaa pois |
||
Rivi 1:
[[joukko|Joukon]] '''mahtavuus''' eli '''kardinaliteetti'''
==Johdanto==
Esimerkiksi joukossa {1,2,3} alkioita on 3 ja joukossa {1, 2, 3, ..., ''n''} niitä on ''n''. [[äärellinen joukko|Äärellisillä joukoilla]] eli sellaisilla joukoilla, joissa on äärellinen määrä alkiota, ''mahtavuuden'' sijasta käytetään usein sanaa ''koko''. Kardinaliteetti-sanaa sen sijaan
Kun [[Ääretön joukko|äärettömässä joukossa]] on äärettömästi alkioita, ilmoitetaan sen mahtavuus sanalla [[ääretön]]. Vaikka ääretön tarkoittaa jotain muuta asiaa kuin lukua, on se hyväksytty mahtavuuden kardinaaliksi, koska se ilmaisee sitä loputtomuutta, mitä alkioiden laskeminen vaatisi.
===Joukkojen vertaaminen===
▲Pienten joukkojen vertailussa voidaan käyttää alkioiden laskemista. Kummankin joukon alkiot lasketaan ja verrataan kardinaaleja keskenään. Äärettömillä joukoilla käytetään [[induktio|induktiivista]] luettelointia. Siinä otetaan joukosta <math>S</math> alkio ja liitetään siihen toisen joukon <math>T</math> alkio pariksi. Jos jokaiselle alkiolle molemmissa joukoissa riittää pari, on joukot yhtä mahtavia eli <math>S \sim T</math>. Se joukko, jolta parinmuodostuksessa jää alkioita yli, on mahtavampi.
Tarkastellaan esimerkkinä kahta äärellistä joukkoa <math>S = \{ a, b, c, d \}</math> ja <math>T = \{1, 2, 3 \}</math>. Vertailu tehdään ensin ottamalla aina joukon <math>T</math> alkiolle pari joukosta <math>S</math>. Silloin saadaan parit <math>\{ (1,a), (2,b), (3,c) \}</math> ja joukon <math>S</math> alkiot riittivät. Tämä ei vielä merkitse, että joukot ovat yhtä mahtavia. Parinmuodostus tulee onnistua myös toisin päin. Tällöin muodostetaan jokaiselle kirjaimelle pari numerosta. Tämä ei onnistu, koska kirjaimelle <math>d</math> ei löydy tyhjentyneestä numerojoukosta paria. Siksi tuomitsemme joukon <math>S</math> mahtavammaksi kuin joukon <math>T</math>.
Rivi 23 ⟶ 21:
Esimerkiksi [[luonnollinen luku|luonnollisten lukujen]] joukko <math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ... \}</math> on yhtä mahtava [[osajoukko]]nsa {2, 4, 6, 8, 10, ...} kanssa. Tämä nähdään kahdella tavalla. Parinmuodostuksessa saadaan parijono <math>\{ (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10), ... , (n,2n), ... \}</math>, jossa pariksi valitaan toisesta joukosta aina kaksi kertaa suurempi luku. Käänteinen parinvalinta toimii niin, että parillisen luvun pariksi valitaan aina puolet pienempi luku. Tätä voisi jatkaa äärettömän monta kertaa ja siksi todetaankin, että parilliset luvut ja luonnolliset luvut ovat yhtä mahtavat.
Toinen menetelmä on keksiä joukkojen välille kuvaus, jolle löydetään käänteiskuvaus. Tällainen kuvauspari on funktio <math>f(x) = 2x</math> ja sen käänteisfunktio <math>f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x</math>. Näillä voidaan kuvata kaikki [[lähtöjoukko|lähtöjoukon]] alkiot [[maalijoukko|maalijoukon]] alkioiksi ilman, että yksikään alkio jäisi kuvaamatta. Funktio
<ref name=brown/>
Rivi 29 ⟶ 27:
Cantor tutki äärettömiä joukkoja ja havaitsi pian että jotkin joukot ovat "enemmän äärettömiä" kuin toiset. Tämä johti kardinaalilukujen vertailuun. Koska luonnolliset luvut tiedetään jo äärettömäksi joukoksi, merkitään niiden mahtavuutta kardinaaliluvulla <math>\aleph_0 = \infty </math> (lue:[[alef]]-0). Luonnollisisten lukujen joukosta sanotaan, että se on '''laskettavasti''' tai [[numeroituvasti ääretön]], koska sen alkioista voidaan muodostaa alkiopareja verrattavan joukon alkioiden kanssa.
Cantor oletti, että oli olemassa suurempia kardinaalilukuja ja että ne voitiin järjestää suuruusjärjestykseen <math>\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < ... </math>. Suurempien joukkojen etsintä tuotti tulosta, kun hän osoitti reaalilukujen olevan suurempi joukko. Vieläkään ei tiedetä, onko reaalilukujen kardinaliteetti <math>\aleph_1</math> tai <math>\aleph_2</math> vai jokin muu. Toisin sanoen ei ole pystytty osoittamaan oikeaksi tai vääräksi, onko olemassa ylinumeroituvaa joukkoa, jonka mahtavuus olisi pienempi kuin reaalilukujen joukon. Toistaiseksi reaalilukujen
==Mahtavuuteen liittyviä yleisiä tuloksia==
| |||