Ero sivun ”Differentiaali- ja integraalilaskenta” versioiden välillä

[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Rivi 7:
== Differentiaali- ja integraalilaskennan sovelluksia ==
 
Differentiaali- ja integraalilaskentaa käytetään kaikilla [[fysikaaliset tieteet|fysikaalisten tieteiden]] aloilla, [[tietojenkäsittelytiede|tietojenkäsittelytieteessä]], [[tilastotiede|tilastotieteessä]], [[lääketiede|lääketieteessä]] ja [[taloustiede|taloustieteessä]]. Se on yleinen menetelmä matemaattisesti muotoillun ongelman optimaalisen ratkaisun löytämiseen. Differentiaali on sama käsite kiuin derivaatta, mutta merkintänä käytetään yleensä differentiaalia, esim. dx,dy,dz tai dt, jossa nuo ovat nollaa lähestyviä muuttujia. Diffentiaaliaalilla on lukemattomia käyttösovelluksia, ja erityisen hyödyllistä differentilaalin so. tangentin laskeminen on kahden muuttujan yhtälöissä, joissa on kiinnitetty akselit y:ksi ja x:ksi ja etsitään kulmakerroin kaksiulotteiselle kohteelle, tai kolmiulotteisissa kaavioissa on lisätty dz syvyysvaikutelmana, ja tällöin derivointi ts diffentointi paljastaa alemman ulottuvuuden alasivuajan, kyseiselle kolmiulotteiselle kohteelle. Myös muille käyrille kuin suorille on yksiulotteisesti mahdollista määrittää kaareutuvuus, tai suoralle se on aina nolla. Itse kaava, jossa esiintyy muuttujia y tai x kutsutaan kokonaisfunktionaalisella lauseella F(x;y) tai esim. G(x,y) tms ja tällöin sen ensimmäinen derivaatta merkitään funktion nimessä heittomerkillä F'(x,y). Itse derivointi kaikenlaisille polynomeille on mahdollista johtaa raja-arvolaskuista, jossa dy = (Y- Y0) ja ovat mahdollisimman lähelle samaa pistettä lähestyviä arvoja kuten myös dx = (X-X0), jolloin yhtälöistä saadaan supistumaan pois termejä, kun hävitytäänhäivytetään funktion lauseella esim. toinen(yleensä y) muuttuja pois, ja on voitu tehdä kaikissa tapauksissa toimivat laskusäännöt lähes kaikille mahdollisille funktiolle mitä tiedetään. Integrointi toimii toiseen suuntaan, ylempää ulottuvuutta kohden, ja se laskee käyrälle pinnassa pinta-alafunktion ja tilavuudessa alafunktion ala integroidaan muuttujiensa suhteen tilvauudeksi kappaleella seuraavan ulottuvuuden kaavan avulla. Kuitenkaan kaikille mahdollisille funktioille ei ole vielä keksitty integraalia, vaikka toistepäin derviaatan suuntaan se on vielä onnistunut. Isaac Newton kutsui fysiikassa käyttämäänsä aikaderivaattaa fluksioniksi, jolla oli mahdollista saada selville mille tahansa normaalille fysiikan suureelle sen muuttumiskulmakerroin tai kaareutuvuus tms. sitä alemmalle aikaderivaatalle. Esim. Voima oli mahdollista fluksioida massaksi tai energia tehoksi. Newton merkitsi aikafluksionia pisteenä muuttujan päällä, ja se tulikittiin aina derivaataksi ajan suhteen. Tavallisesti differentiaaliongelmissa on hyödyllistä löytää nollakohta, ja koska tangentti millä tahansa käyrällä on vaakatasossa nolla, se yhtälö paljastaa usein paraabeliluonteisille kohteille, jonkin pisteensä raja-arvon, huipulle tai kuopan pohjalle, kun funktion kuvaaja kääntyy nollakohdan jälkeen ylös- tai huipun tapauksessa alaspäin. Myös esim. ympyrällä on tangentiaaliset nollakohtansa, eli jos differentoidaan ympyrä dy/dx, on löydetty nollakohta aina 90-asteessa ja 270-asteessa, tai radiaanisesti pi/2 tai 3/2*pi kohdassa. Luonnollisesti dx/dy paljastaisi nollakohdan 180 asteessa, ja nolla-asteessa. Kuuluisa esimerkki fysiikan differentiaalisovelluksesta on Schrödingerin kvanttimekaaniinen kaava, jossa hänen kavaansa osuu suureena aina tehon ja liikemäärän väliin.
 
Esimerkkejä tyypillisistä differentiaali- ja integraalilaskennan ongelmista ovat: