Wikipedia

Ero sivun ”Kiihtyvyys” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][katsottu versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
Rv - johdettu matkan kaava tuntuu menneen pieleen
Rivi 1:
{{lähteetön}}
[[Kuva:Derivaattaesim.png|right|thumb|250px|Kuvaajat vakiokiihtyvyydellä g kulkevalle kappaleelle. Matkan aika[[derivaatta]] antaa [[nopeus|nopeuden]] ja nopeuden aikaderivaattaderivaatta antaa kiihtyvyyden, joka [[putoamiskiihtyvyys|putoamiskiihtyvyyden]] ''g'' tapauksessa on vakio.]]
'''Kiihtyvyys''' (tunnus <math>\mathbf{a}</math>) on fysikaalinen [[vektori]][[suure]] (kiihtyvyydellä on suunta ja suuruus), joka kuvaa kappaleen [[nopeus|nopeuden]] muutosta tietyssä [[aika|ajassa]]. Sen yksikkö on [[SI-järjestelmä]]ssä m/s&sup2;. [[Putoamiskiihtyvyys|PutoamiskiihtyvyydellePutoamiskiihtyvyydellä]] maan pinnanpinnalla läheisyydessäon käytetäänoma tunnustatunnuksensa, joka on <math>g</math>.
 
== Tasaisesti kiihtyvä liike ja sen kiihtyvyys ==
Kappaleen kiihtyvyys määritellään fysiikassa nopeuden ensimmäisenä ja toisaalta siirtymän (paikan muutos) toisena [[derivaatta]]na ajan suhteen:▼
 
▲Kappaleen kiihtyvyys määritellään fysiikassamatemaattisesti nopeuden ensimmäisenä ja toisaalta siirtymän (paikan muutos) toisena [[derivaatta]]na ajan suhteen:
:<math>\mathbf{\vec{a}} = \frac{d\mathbf{\vec{v}}}{dt}\ = \frac{d''\mathbf{\vec{s}}}{d''t},</math> <ref name=":0">{{Kirjaviite|Tekijä=Hugh D. Young & Roger A Freedman|Nimeke=Fyysikko|Vuosi=2012|Sivu=94|Julkaisija=Mark Zemansky & Francis Sears}}</ref>
missä▼
* <math>\mathbf{\vec{a}}</math> = kappaleen kiihtyvyysvektori▼
* <math>\mathbf{\vec{v}}</math> = kappaleen nopeusvektori▼
* <math>\mathbf{\vec{s}}</math> = kappaleen siirtymävektori (voidaan ilmaista myös paikan muutosvektorina <math>\mathbf{\vec{\vartriangle p}}</math>)
* ''t'' = aika.▼
 
:<math>\mathbf{\vec{\alpha}a} = \frac{d\mathbf{\vec{\omega}v}}{dt}\ = \frac{d''\mathbf{\vec{\theta}x}}{d''t},</math>▼
Kappaleen ''keskikiihtyvyys'' on sen nopeuden muutos jaettuna aikavälin pituudella:▼
 
▲missä
:<math>\mathbf{a_k} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac{\mathbf{v_2} - \mathbf{v_1}}{t_2 - t_1}</math><ref name=":0" />▼
▲* <math>\mathbf{\vec{a}v}</math> = kappaleen kiihtyvyysvektorinopeus,
▲* <math>\mathbf{\vec{v}x}</math> = kappaleen nopeusvektoripaikka,
▲* ''t'' = aika.
 
[[Tasainen liike|Tasaisessa liikeessä]] kiihtyvyys on nolla. [[Tasaisesti kiihtyvä liike|Tasaisesti kiihtyvässä liikeessä]] kiihtyvyys on vakio, ja se voidaan yksinkertaisesti laskea kaavalla
Tästä huomataan, että mitä pienemmällä aikavälillä keskikiihtyvyyttä tarkastellaan, sitä tarkemmin se kuvaa todellista hetkellistä kiihtyvyyttä.
 
:<math>\mathbf{a} = \lim_frac{v_1 \toDelta \mathbf{v}}{\Delta v_2t} = \frac{\mathbf{v_2} - \mathbf{v_1}}{t_2 - t_1}= \frac{d\mathbf{\vec{v}}}{dt}.</math>
 
Jos tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä olevan kappaleen nopeus sovitulla hetkellä t<sub>0</sub> on v<sub>0</sub> ja kiihtyvyys ''a'', niin hetkellä ''t'' sen nopeus on <math>b = v_0 + a(t - t_0)</math>, ja tässä ajassa se on kulkenut matkan
== Tasainen ja tasaisesti kiihtyvä liike ==
 
<math>s = v_0 (t - t_0) + \frac{a (t-t_0)^2}{2}</math>.<ref name=KS20>{{kirjaviite | Tekijä = Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio | Nimeke = Vuorovaikuttavat kappaleet - mekaniikan perusteet | Sivu = 20 | Julkaisija = Limes r.y. | Vuosi=1995 | Tunniste = ISBN 9517451679}}</ref>
[[Tasainen liike|Tasaisessa]] ja [[Tasaisesti kiihtyvä liike|Tasaisesti kiihtyvässä liikeessä]] kiihtyvyys on vakio, jolloin se voidaan laskea tarkasti myös keskikiihtyvyyden yhtälöllä. Tämä johtuu siitä, että muutos nopeudessa on tasaista, jolloin kaikki tarkasteluvälit antavat saman tuloksen.
 
▲KappaleenTietyllä aikavälillä kappaleen ''keskikiihtyvyys'' on sen nopeudennopeuksien erotus aikavälin lopussa ja muutosalussa jaettuna aikavälin pituudella:
[[Tasainen liike|Tasaisessa liikeessä]] kiihtyvyys on nolla.
 
▲:<math>\mathbf{a_k} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta ta} = \frac{\mathbf{v_2} - \mathbf{v_1}}{t_2 - t_1}.</math><ref name=":0" />
:
 
Tasaisesti kiihtyvän liikkeen kiihtyvyys on siis koko ajan yhtä suuri kuin sen keski­kiihtyvyys. Muussa tapauksessa kappaleen hetkellinen kiihtyvyys saadaan sen keski­kiihtyvyyden [[raja-arvo]]na, kun tarkasteltava aikaväli on mahdollisimman lyhyt.<ref name=KS20 />
Kun kappale on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä (kiihtyvyys a on vakio) voidaan sen nopeus laskea eri ajan hetkinä
 
Yksiulotteisessa liikkeessä suunta voidaan unohtaa ja kiihtyvyys on suoraan nopeuden kuvaajan <math>(t{,}v)</math> tangentti. Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä nopeus ajan funktiona antaa piirrettynä antaa suoran, jonka [[kulmakerroin|kulmakertoimesta]] kiihtyvyys voidaan laskea. Kuvaaja voi olla kuitenkin monimutkaisempi, jos esimerkiksi piirretään auton nopeus ruuhkassa ajan funktiona. Tällöin kiihtyvyys ei ole vakio.▼
<math>v_2 =v_1 + a (t_2-t_1)= v_1 + at</math>
 
Kiihtyvyyttä vastaava suure pyörivässä liikkeessä on [[kulmakiihtyvyys]], jonka tunnus on <math>\mathbf{\alpha}</math>.
missä
* <math>v_2</math> on nopeus lopussa (ajanhetkellä <math>t_2</math>)
* <math>v_1</math> on nopeus alussa (ajanhetkellä <math>t_1</math>)
* <math>a</math> on kiihtyvyys (vakio)
* <math>t</math> on kulunut aika lähtötilanteesta
ja tässä ajassa se on kulkenut matkan
 
== Tangentiaali- ja normaalikiihtyvyys ==
<math>s = v_1 (t_2 - t_1) + \frac{a (t_2^2-t_1^2)}{2}</math>
 
Kappale on kiihtyvässä liikkeessä, kun sen nopeus muuttuu. Nopeuden muutos voi olla joko vauhdin kasvamista tai vähenemistä tai kappaleen suunnan muutos. Kiihtyvyydellä on aina suunta ja suuruus, se on siis [[vektorisuure]]. Kiihtyvyys voidaan jakaa kahteen komponenttiin, kappaleen liikkeen suuntaiseen ''tangentiaali­kiihtyvyyteen'' ja sitä vastaan kohti­suoraan ''normaali­kiihtyvyyteen''. Tangentiaali­kiihtyvyys merkitsee kappaleen [[vauhti|vauhdin]] muutosta, normaali­kiihtyvyys sitä vastoin sen liike­suunnan muutosta<ref>Kurki-Suonio, s. 61</ref> Jos tangentiaalikiihtyvyys on nopeuden suuntainen, kappaleen vauhti kasvaa; jos se taas on vastakkais­suuntainen, liike hidastuu. Käyrä­viivaista rataa pitkin kulkevalla kappaleella normaali­kiihtyvyys on nollasta poikkeava, vaikka sen vauhti pysyisi vakionakin. Niinpä esimerkiksi tasaisessa [[ympyräliike|ympyrä­liikkeessä]] olevalla kappaleella on ympyrän keski­pistettä kohti suuntautuva [[keskeiskiihtyvyys]].
<math>s=v_1t+\frac{1}{2}a t^2</math>
* Huom! Tässä valittu jälkimmäiseen yhtälöön <math>t_1=0</math> , <math>t_2=t</math>
* <math>s</math> on siirtymä
Kyseiset tulokset voidaan johtaa määritelmästä integroinnin avulla
 
:<math>\mathbf{\vec{a}} = \frac{d\mathbf{\vec{v}}}{dt}\ \parallel \int_{t_1}^{t_2} dt
</math>
:<math>\Leftrightarrow\int_{t_1}^{t_2} \vec{a} dt=\int_{t_1}^{t_2} \frac{d\mathbf{\vec{v}}}{dt} dt
</math> <math>,\vec{a}</math> on vakio joten voidaan ottaa ulos integraalista
:<math>\Leftrightarrow \vec{a}\cdot sij. \int_{t_1}^{t_2} (1) dt= sij.\int_{t_1}^{t_2} \vec{v}(t)
</math> , <math>,\vec{v}</math> on ajan funktio (sij. laitettu koska wikipedialla ei ole integraalin sijoitus merkintää käytössä)
:<math>\Leftrightarrow \vec{a} \cdot(t_2-t_1)= \vec{v}(t_2)-\vec{v}(t_1)</math>
:<math>{\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {v}}(t_{2})={\vec {v}}(t_{1})}+ {\vec {a}}\cdot (t_{2}-t_{1})</math> merkitään <math>t_1=0</math> , <math>t_2=t</math>
:<math>{\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {v}}(t_{})={\vec {v}}(0)}+ {\vec {a}}\cdot t</math>
:Tästä voidaan edelleen jatkaa integroimalla nopeutta ajan suhteen. (nopeuden määritelmä <math>,\vec{v}=\frac{d\mathbf{\vec{p}}}{dt} </math>)<ref name=":0" />
:<math>\int_{t_1}^{t_2} \vec{v}(t){dt}=\int_{t_1}^{t_2} \frac{d\mathbf{\vec{p}}}{dt}dt </math>, sijoitetaan <math>\vec{v}(t_2)</math> äskeisestä yhtälöstä
:<math>\int_{t_1}^{t_2} (\vec{v}(0)+\vec{a}t){dt}}=sij.\int_{t_1}^{t_2} {\mathbf{\vec{p}(t)} </math> , <math>\vec{v}(0)</math> ja <math>\vec{a}</math> vakioita
:<math>\vec{v}(t_1)\int_{t_1}^{t_2}(1) +\vec{a}\int_{t_1}^{t_2}(t){dt}}=sij.\int_{t_1}^{t_2} {\mathbf{\vec{p}(t)} </math>
:<math>\vec{v}(0)(t_2-t_1)+\frac{\mathbf{1}}{2}\vec{a}(t_2^2-t_1^2)=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1) </math>, merkitään paikan muutosta siirtymällä <math>\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)=\vec{s}</math> ja <math>t_1=0</math> , <math>t_2=t</math>
:<math>\vec{v}(0)t+\frac{\mathbf{1}}{2}\vec{a}t^2=\vec{s} </math>
 
=== Graafinen tulkinta ===
▲Yksiulotteisessa liikkeessä suunta voidaan unohtaa ja kiihtyvyys on suoraan nopeuden kuvaajan <math>(t{,}v)</math> tangentti. Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä nopeus ajan funktiona antaa piirrettynä suoran, jonka [[kulmakerroin|kulmakertoimesta]] kiihtyvyys voidaan laskea.
 
== Kiihtyvyys ympyräliikkeessä ==
 
Kiihtyvyys [[ympyräliike|ympyrä­liikkeessä]] voidaan jakaa kahteen komponenttiin, kappaleen tangentin suuntaiseen ''tangentiaali­kiihtyvyyteen,'' sekä sitä vastaan kohti­suoraan (säteen suuntaiseen) ''normaali­kiihtyvyyteen''. Molempia suureita tarkasteltaessa tärkeiksi työkaluiksi tulee kulma <math>\theta</math>, kulmanopeus (<math>\omega</math>) ja [[kulmakiihtyvyys]] (<math>\mathbf{\alpha}</math>). Kulmakiihtyvyys voidaan määrittää vastaavasti kuin kiihtyvyys kulmanopeuden ensimmäisenä ja toisaalta kulman muutoksen toisena [[derivaatta]]na ajan suhteen
 
▲<math>\mathbf{\vec{\alpha}} = \frac{d\mathbf{\vec{\omega}}}{dt}\ = \frac{d''\mathbf{\vec{\theta}}}{d''t}</math>
 
Tangenttikiihtyvyys ja normaalikiihtyvyys voidaan ilmoittaa <math>\omega</math>, <math>\mathbf{\alpha}</math> ja ympyrän säteen <math>r</math> avulla:
 
<math>\mathbf{a_t}=\mathbf{\alpha}\cdot r</math> ja <math>\mathbf{a_n}=\mathbf{\omega^2}\cdot r</math>
 
Kiihtyvyys voi vaikuttaa sekä sekä kappaleen vauhdin suuruuteen, että suunnan muutokseen. Jos tangentiaalikiihtyvyys on ympyräradalla kulkevan kappaleen nopeuden suuntainen, kappaleen vauhti kasvaa; jos se taas on vastakkais­suuntainen, liike hidastuu. Normaalikiihtyvyys taas vaikuttaa ympyräradan jyrkkyyteen eli siihen kuinka nopeasti kappaleen suunta muuttuu. Mitä suurempi normaalikiihtyvyys on, sitä pienemmällä ympyräradalla kappale liikkuu. Jos normaalikiihtyvyys putoaa nollaan kappale poistuu ympyräradalta ja jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä, ellei siihen vaikuta muita kiihtyvyyksiä.
 
== Kiihtyvyys törmäyksissä ==
Rivi 84 ⟶ 42:
== Kiihtyvyys ja dynamiikan peruslaki ==
 
[[Dynamiikan peruslaki|Dynamiikan II. peruslain]] mukaan kiihtyvyyden aiheuttaa jokin kappaleeseen kohdistuva [[voima (fysiikka)|kokonaisvoimavoima]]. aiheuttaaVoiman sillekappaleelle kiihtyvyydenantama kiihtyvyys saadaan jakamalla voima kappaleen [[massa]]lla: a = F / m.<ref>Kurki-Suonio, s. 88</ref>
 
<math>\sum\vec{F}=m\vec{a}</math> , kun m on vakio
 
== Katso myös ==
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Kiihtyvyys”