Ero sivun ”Multiplikatiivinen funktio” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Botti poisti 17 Wikidatan sivulle d:q1048447 siirrettyä kielilinkkiä |
lähde |
||
Rivi 1:
[[Lukuteoria]]ssa '''multiplikatiivisella funktiolla''' tarkoitetaan funktiota ''f'', jolle kaikilla [[Keskenään jaottomat luvut|keskenään jaottomilla kokonaisluvuilla]] ''a'' ja ''b'' pätee ''f''(''ab'') = ''f''(''a'') ''f''(''b''). Jos ehto pätee myös kaikilla luvuilla ''a'' ja ''b'' jotka eivät ole keskenään jaottomia, sanotaan funktion olevan täydellisesti multiplikatiivinen.<ref name="r166">Rosen, s. 166</ref>
== Esimerkkejä multiplikatiivisista funktioista ==
Esimerkkejä multiplikatiivisista funktioista, jotka ovat laajalti käytössä lukuteoriassa:
* <math>\phi</math>(''n''): [[Eulerin fii]] <math>\phi</math>, niiden lukua ''n'' pienempien lukujen ''a'' lukumäärä, joilla ''a'' ja ''n'' ovat keskenään jaottomia.<ref>Rosen, s. 168–169</ref>
* <math>\mu</math>(''n''): [[Möbiuksen
* syt(''n'',''k''): lukujen ''n'' ja ''k'' [[suurin yhteinen tekijä]], missä ''k'' on kiinteä kokonaisluku.
* ''d''(''n''): luvun ''n'' positiivisten tekijöiden lukumäärä,<ref name="r175">Rosen, s. 175</ref>
* <math>\sigma</math>(''n''): kaikkien ''n'':n positiivisten tekijöiden summa<ref name="r175" />
* <math>\sigma</math><sub>''k''</sub>(''n''): [[
** <math>\sigma</math><sub>0</sub>(''n'') = ''d''(''n'') ja
** <math>\sigma</math><sub>1</sub>(''n'') = <math>\sigma</math>(''n''),
* 1(''n''): vakiofunktio, määritellään 1(''n'') = 1 (täydellisesti multiplikatiivinen)<ref name="r166" />
* Id(''n''): [[identtinen funktio]], määritellään Id(''n'') = ''n'' (täydellisesti multiplikatiivinen)<ref name="r166" />
* Id<sub>''k''</sub>(''n''): potenssifunktio, määritelty Id<sub>''k''</sub>(''n'') = ''n''<sup>''k''</sup> kaikille [[luonnollinen luku|luonnollisille luvuille]] (tai jopa kompleksiluvuille) ''k'' (täydellisesti multiplikatiivinen). Erikoistapauksina saadaan
** Id<sub>0</sub>(''n'') = 1(''n'') ja
** Id<sub>1</sub>(''n'') = Id(''n''),
* <math>\epsilon</math>(''n''): funktio, joka on määritelty <math>\epsilon</math>(''n'') = 1 jos ''n'' = 1 ja = 0 jos ''n'' > 1, tunnetaan myös nimellä ''Dirichlet'n konvoluution multiplikatiivinen yksikkö'' tai ''yksikkö''; Tämä kirjoitetaan toisinaan muodossa ''u''(''n''), ettei sitä sekoiteta Möbiuksen funktioon <math>\mu</math>(''n'').
* (''n''/''p''), [[Legendren symboli]], missä ''p'' on kiinteä [[alkuluku]] (täydellisesti multiplikatiivinen).<ref>Rosen, s. 291–292</ref>
* <math>\lambda</math>(''n''): [[Liouvillen funktio]], jonka arvo on niiden alkulukujen lukumäärä, jotka jakavat luvun ''n''. Liouvillen funktio on täydellisesti multiplikatiivinen.<ref>Rosen, s. 174</ref>
* <math>\gamma</math>(''n''), joka määritellään <math>\gamma</math>(''n'')=(-1)<sup><math>\omega</math>(n)</sup>, missä [[additiivinen funktio]] <math>\omega</math>(''n'') on erillisten alkulukujen lukumäärä, jotka jakavat luvun ''n''.
* Kaikki [[Dirichlet'n karakteristika]]t ovat täydellisesti multiplikatiivisia funktioita.
Rivi 30:
== Katso myös ==
* [[Aritmeettinen funktio]]
== Lähteet ==
* {{Kirjaviite | Tekijä = Rosen, Kenneth H. | Nimeke = Elementary Number Theory and Its Applications | Vuosi = 1984 | Julkaisija = Addison-Wesley | Julkaisupaikka = Reading, Massachusetts | Isbn = 0-201-06561-4 | Kieli = {{en}} | Sivut = }}
=== Viitteet ===
{{Viitteet}}
{{tynkä/Matematiikka}}
| |||