Ero sivun ”Wilsonin lause” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
lähde |
|||
Rivi 1:
[[Matematiikka|Matematiikassa]] '''Wilsonin lauseen''' mukaan ''p'' on [[alkuluku]], jos ja vain jos
:<math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math>.
Rivi 11:
Jos ''p'' on pariton alkuluku, joukko ''G'' = ('''Z'''/''p'''''Z''')<sup>×</sup> = {1, 2, ... ''p'' − 1} muodostaa multiplikatiivisen ryhmän [[kongruenssi (lukuteoria)|modulo ''p'']] suhteen. Tällöin kaikilla ''G'':n alkioilla ''a'' on olemassa yksikäsitteinen käänteisalkio ''b'', jolle ''ab'' ≡ 1 (mod ''p'') ja joka on siis myös ''G'':n alkio. Jos ''a'' ≡ ''b'' (mod ''p''), on ''a''<sup>2</sup> ≡ 1 (mod ''p''), jolloin ''a''<sup>2</sup> − 1 = (''a'' + 1)(''a'' − 1) ≡ 0 (mod ''p''), ja koska ''p'' on alkuluku, on oltava ''a'' ≡ 1 tai −1 (mod ''p''), joten ''a'' = 1 tai ''a'' = ''p'' − 1.
Toisin sanoen 1 ja ''p'' − 1 ovat itsensä käänteisalkioita, mutta kaikille muille ''G'':n alkioille on olemassa toinen käänteisalkio, joten ryhmittelemällä tulon tekijät huomataan, että tuloksi tulee −1. Jos ''p'' = 2, on helppo nähdä, että Wilsonin lause on voimassa.
Toisaalta olkoon kongruenssirelaatio voimassa [[yhdistetty luku|yhdistetylle luvulle]] ''n''. Tällöin ''n'':llä on aito tekijä ''d'', 1 < ''d'' < ''n''. Selvästi ''d'' jakaa (''n'' − 1)!. Mutta kongruenssin perusteella ''d'' jakaa myös luvun (''n'' − 1)! + 1, joten ''d'' jakaa ykkösen, mikä on ristiriita.
== Lähteet ==
* {{Kirjaviite | Tekijä = Rosen, Kenneth H. | Nimeke = Elementary Number Theory and Its Applications | Vuosi = 1984 | Julkaisija = Addison-Wesley | Julkaisupaikka = Reading, Massachusetts | Isbn = 0-201-06561-4 | Kieli = {{en}} | Sivut = 147–148}}
[[Luokka:Lukuteoria]]
| |||