Wikipedia

Ero sivun ”Kolmion keskinormaalien leikkauspiste” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[katsottu versio][katsottu versio]
← Vanhempi muutos
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
Velma (keskustelu | muokkaukset)
seulojat
66 024 muokkausta
p →‎Viitteet: luokka
MsaynevirtaBOT (keskustelu | muokkaukset)
13 545 muokkausta
p tavallinen viiva ajatusviivaksi per pyyntö, kuvakoon määr pois, typos fixed: myöskin → myös using AWB
 
Rivi 1:
[[Tiedosto:Keskinormaali3.png|thumb|250pxpienoiskuva|Keskinormaalit leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä.]]
'''Kolmion keskinormaalien leikkauspiste''' on [[geometria]]ssa piste, joka syntyy jokaisen sivun [[keskinormaali]]n kohdatessa toisensa.<ref name=kurittu98/><ref name=harju19/><ref name=trilin9/> Leikkauspiste on eräs [[kolmion merkilliset pisteet|kolmion merkillisestä pisteistä]] ja se on luetteloitu ''Kimberlingin pisteiden luetteloon'' tunnuksella <math>\scriptstyle X_{3}</math>. Pisteen nimeksi on valittu monissa kielissä melko samantapainen termi, joka kirjoitetaan englanniksi ''circumcenter''. Se viittaa [[kolmion ympäri piirretty ympyrä|kolmion ympärille piirrettyyn ympyrään]], jonka keskipiste yhtyy leikkauspisteeseen.<ref name=harju25/><ref name=ck/><ref name=Circumcenter/>
 
== Sijainti kolmiossa ==
Keskinormaalit ovat kohtisuorassa kolmion sivuihin nähden. Kahden sivun välinen tylppä kulma voi kääntää kahden sivun keskinormaalit lähes yhdensuuntaisiksi, jolloin niiden leikkauspiste jää kauaksi. Leikkauspiste voi siksi sijaita tietysti kolmion sisällä, mutta myöskinmyös kaukana kolmion ulkopuolella.
<gallery>
Triangle (Acute) Circumscribed.svg|[[teräväkulmainen kolmio|Teräväkulmaisessa kolmiossa]] leikkauspiste jää kolmion sisälle.
Rivi 10:
</gallery>
 
[[Tiedosto:Keskinormaali5.png|250px|thumbpienoiskuva|Kolmion ympäri piirretty ympyrän leikkauspiste sijaitsee samassa kohtaa keskinormaalien (punaiset suorat) leikkauspisteen '''''H''''' kanssa. Säteet on merkitty sinisellä.]]
Sivun keskinormaali on suora, jonka pisteet sijaitsevat yhtä kaukana molemmista sivun päätepisteistä. Kun näin on laita kaikille kolmion keskinormaaleille, ovat keskinormaalien leikkauspisteen etäisyydet kaikkiin kolmion kärkiin yhtä pitkät. Jos kolmion kärkien kautta piirtää ympyrän, tulee sen säteeksi leikkauspisteen etäisyys kolmion kärkiin.
 
Rivi 27:
 
=== Trilineaariset koordinaatit ===
Pisteen [[trilineaariset koordinaatit]] ovat :<math>\cos \alpha \, : \, \cos \beta \, : \, \cos \gamma = a(b^2+c^2-a^2) \, : \, b(c^2+a^2-b^2) \, : \, c(b^2+a^2-c^2)</math>. <ref name=trilin9/><ref name=ck/><ref name=Circumcenter/>
 
=== Barysentriset koordinaatit ===
Rivi 40:
Painopiste '''''G''''' ja ortokeskus '''''O''''' sijaitsevat kolmion muodosta riippumatta Eulerin suoralla tasavälein niin, että '''''HG = 2•GO'''''.<ref name=kurittu118/><ref name=harju25/>
 
[[Kolmion ympäri piirretty ympyrä|Kolmiota ympäröivän ympyrän]] ([[säde (geometria)|säde]] '''''R''''') keskipiste eli [[kolmion keskinormaalien leikkauspiste]] '''''O''''' ja painopiste '''''G''''' toteuttavat yhtälön <math>\scriptstyle GO^2 = R^2 - \tfrac{1}{9}(a^2 + b^2 + c^2)</math> <ref name=tricentroid/>
 
== Lähteet ==
* {{Verkkoviite | osoite = https://jyx.jyu.fi/dspace/bitstream/handle/123456789/40300/URN%3ANBN%3Afi%3Ajyu-201211132988.pdf?sequence=1 | nimeke = Trilineaariset koordinaatit | tekijä = Koivulahti, Perttu | tiedostomuoto = pdf | selite = tutkielma | ajankohta =2012 | julkaisupaikka = Jyväskylä | julkaisija = Jyväskylän Yliopisto | viitattu = 20.4.2013 }}
* {{Verkkoviite | osoite =http://users.utu.fi/harju/geometria/geometria2012.pdf | nimeke =Geometrian lyhyt kurssi | tekijä =Harju, Tero | tiedostomuoto =pdf | selite =luentomoniste | ajankohta =2012 | julkaisupaikka = Turun yliopisto | viitattu = 20.4.2013}}
* {{Verkkoviite | osoite = http://users.jyu.fi/~laurikah/Geometria/Geometria2006.pdf | nimeke = Geometria | tekijä = Kurittu Lassi | tiedostomuoto = pdf | selite = luentomoniste| julkaisu = | ajankohta =2006 | julkaisupaikka =Jyväskylän | julkaisija =Jyväskylän Yliopisto | viitattu = 20.4.2013}}
Rivi 54:
* <ref name=harju19>Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.19</ref>
* <ref name=trilin9>Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.9</ref>
* <ref name=ck>{{Verkkoviite | osoite = http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html | nimeke = Encyclopedia | tekijä = Kimberling, Clark | tiedostomuoto = html | julkaisu = Tekijän kotisivut | ajankohta = 2013 | julkaisupaikka = Evansville | julkaisija = Evansvillen Yliopisto | viitattu = 20.4.2013 | kieli = {{en}} }}</ref>
* <ref name=Circumcenter>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Circumcenter.html| Nimeke = Circumcenter | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World -– A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
* <ref name=BarycentricCoordinates>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/BarycentricCoordinates.html | Nimeke = Barycentric Coordinates | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World -– A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
* <ref name=sinilause>Math Open Reference: [http://www.mathopenref.com/lawofsines.html Law of Sines]</ref>
* <ref name=morcircumcirc>Math Open Reference: [http://www.mathopenref.com/trianglecircumcircle.html Circumcircle of a triangle]</ref>
* <ref name=ck_euler>{{Verkkoviite | osoite = http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.html | nimeke = Euler line | tekijä = Kimberling, Clark | tiedostomuoto = html | julkaisu = Tekijän kotisivut | ajankohta = 2013 | julkaisupaikka = Evansville | julkaisija = Evansvillen Yliopisto | viitattu = 20.4.2013 | kieli = {{en}} }}</ref>
*<ref name=tricentroid>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/TriangleCentroid.html| Nimeke = Triangle Centroid | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World -– A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
}}
 
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Kolmion_keskinormaalien_leikkauspiste”