Ero sivun ”Pyörähdyspinta” versioiden välillä

9 merkkiä lisätty ,  3 vuotta sitten
ei muokkausyhteenvetoa
== Ominaisuuksia ==
 
Pyörähdspinnan ja sellaisen tason leikkauksia, johon sen akseli kuuluu, sanotaan ''meri­dio­naali­siksi leikkauksiksi''. Jokaista meri­dio­naa­lista leikkausta voidaan pitää pinnan genera­trixina leikkauksen ja akselin määrittämässä tasossa.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Wilson, W. A. Wilson& Tracey, J. I. Tracey | Nimeke = Analytic Geometry | Sivu = 227 | Julkaisija = D.C. Heath and Co. | Vuosi = 1925}}</ref>
 
Pyörähdyspinnan ja sen akselia vastaan kohtisuorien tasojen leikkaukset ovat ympyröitä. Pyörähdyspinnan ja kahden tällaisen tason rajoittama kappale on [[pyörähdyskappale]].
 
Jos generatrix on jonkin funktion <math>y = f(x)</math> kuvaaja ja tämä pyörähtää [[x-akseli|''x''-akselin]] ympäri, pyörähdys­pinnan käsittävät ne avaruuden pisteet ''(x, y, z)'', joiden etäisyys ''x''-akselista on ''f(x)'' eli jotka toteuttavat yhtälön:
:<math>f(x)^2 = y^2 + z^2</math>.<ref name=Myrberg>{{kirjaviite | Tekijä = Lauri Myrberg, Lauri | Nimeke = Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1 | Sivut = 283–285 | Luku = Pyörähdyspinnan ala | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1977 | Tunniste = 951-26-0936-3}}</ref>
 
==Pinta-ala==
:<math> A_y = 2 \pi \int_a^b x(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt, </math>
 
edellyttäen, että ''x''(''t'') ei päätepisteiden ''a'' ja ''b'' välillä saa missään negatiivisia arvoja. Tämä lauseke seuraa [[Pappuksen–Guldinin lause|Pappuksen sentroidilauseesta]].<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Thomas, George B. Thomas | Nimeke = Calculus, 3. painos | Sivut = 206–209, 217–219 | Luku = 6.7: Area of a Surface of Revolution; 6.11: The Theorems of Pappus|page=206–209, 217–219 |LCCN=69016407}}</ref> Tässä esiintyvä lauseke
 
:<math>\sqrt{ \left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2 }</math>
seuraa [[Pythagoraan lause]]esta ja esittää käyrän kaaren pinentä osuutta samoin kuin [[kaarenpituus|kaaren­pituuden]] kaaassa. Lauseke <math>2 \pi x(t)</math> on sen matkan pituus, jonka tämä käyrän osa kulkee käyrän pyörähtäessä, kuten Pappuksen lause edellyttää.
 
Samaan tapaan jos pyörähdys­akselina on ''x''-akseli eikä lauseke <math>y(t)</math> saa missään negatiivisia arvoja, pyörähdys­pinnan ala on<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Singh, R. R. Singh |Nimeke = Engineerin Mathematics, 6. painos | Sivu = 6.90 | Julkaisija = Tata McGraw-Hill |Vuosi = 1993 | Tunniste = ISBN 0-07-014615-2 | www = https://books.google.com/books?id=oQ1y1HCpeowC&pg=SA6-PA90}}</ref>
:<math> A_x = 2 \pi \int_a^b y(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt. </math>
 
==Toroidit==
[[Tiedosto:Toroid by Zureks.svg|thumb|Neliön generoima toroidi]]
Pyörähdys­pintaa, jonka rajoittamassa kappaleessa on reikä ja jonka pyörähdys­akseli ei leikkaa pintaa, sanotaan toroidiksi.<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/TOroid.html |Nimeke = Toroid | Sivusto = Wolfram MathWorld | Kirjoittaja = Weisstein, Eric W. Weisstein | Viitattu = 23.9.2016}}</ref> Esimerkiksi kun [[suorakulmio]] pyörähtää sen jomman­kumman sivun suuntaisen, mutta kokonaan suora­kulmion ulko­puolella olevan akselin ympäri, syntyy ontto rengas, jonka poikki­leikkaus on suora­kulmainen. Jos pyörähtävä käyrä on ympyrä, syntyvää toroidia sanotaan [[torus|torukseksi]].
 
== Sovelluksia ==
 
==Aiheesta muualla==
* {{verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/SurfaceofRevolution.html |Nimeke = Surface of Revolution | Sivusto = Wolfram MathWorld | Kirjoittaja = Weisstein, Eric W. Weisstein | Kieli = {{en}} | Viitattu = 23.9.2016}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://www.mathcurve.com/surfaces/revolution/revolution.shtml |Nimeke =Surface de révolution |Sivusto =Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables | Kieli = {{fr}} | Viitattu = 23.9.2016}}
 
18 977

muokkausta