Ero sivun ”Euklidinen avaruus” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Botti lisäsi luokkaan Seulonnan keskeiset artikkelit |
Ei muokkausyhteenvetoa Merkkaus: virheellinen wikikoodi |
||
Rivi 4:
Nykyisen käsityksen mukaan [[maailmankaikkeus]] ei ole euklidinen avaruus, sillä [[suhteellisuusteoria]]n mukaisesti avaruuden rakenne taipuu suurten massojen vaikutuksesta. Suhteellisen pienillä nopeuksilla tilannetta voi hyvin kuvata euklidisen avaruuden rakenteilla.
== Johdanto ==
Esimerkiksi vektoriavaruuden <math>\scriptstyle\mathbb{R}^3</math> alkioita eli [[vektori|vektoreita]] ovat reaalilukukolmikot <math>(x,y,z)</math>. Kahden tällaisen summa lasketaan alkioittain: <math>(1,2,3)+(20,30,40)=(21,32,43)</math>.
[[Skalaari]]lla eli reaaliluvulla kerrottaessa jokainen vektorin [[koordinaatti]] kerrotaan annetulla reaaliluvulla, esim. <math>7\cdot(1,2,3)=(7,14,21)</math>. Tämä siis tuottaa skalaarista ja vektorista vektorin.
[[Skalaaritulo]]ssa eli pistetulossa sen sijaan lasketaan kahdesta vektorista skalaari, esim. <math>(a,b,c)\cdot(x,y,z)=ax+by+cz</math>. Tämän skalaaritulon avulla voidaan määrittää avaruuteen <math>\scriptstyle\mathbb{R}^3</math> [[normi (matematiikka)|normi]] eli pituusmitta: <math>\|(a,b,c)\|=\sqrt{(a,b,c)\cdot(a,b,c)}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}</math>. Tämä vastaa [[Pythagoraan lause]]tta. Kahden vektorin <math>\bar x,\bar y\in\scriptstyle\mathbb{R}^3</math> etäisyys määritellään niiden erotuksen normiksi: <math>d(x,y)=\|\bar x-\bar y\|</math>.
Vastaavat säännöt pätevät kaikissa vektoriavaruuksissa <math>\scriptstyle\mathbb{R}^n</math>, kuten alla täsmennetään.
== Määritelmiä ==
| |||