Ero sivun ”Ordinaali” versioiden välillä

6 merkkiä lisätty ,  5 vuotta sitten
(epsilon-nollan raja-arvoesitys)
== Joitakin "suuria" numeroituvia ordinaaleja ==
 
Esimerkkinä "hyvin suuresta" äärettömästä, mutta vielä numeroituvasta ordinaalista voidaan mainita ε<sub>0</sub>. Se on pienin ordinaali, joka toteuttaa yhtälön <math>\omega^\alpha = \alpha</math>, ja samalla jonon 0, 1, <math>\omega</math>, <math>\omega^\omega</math>, <math>\omega^{\omega^\omega}</math> jne. raja-arvo. Monet ordinaalit voidaan määritellä samaan tapaan jonkin ordinaalifunktion kiintopisteinä. Niinpä <math>\iota</math>:tta sellaista ordinaalia, jolle pätee <math>\omega^\alpha = \alpha</math>, merkitään <math>\varepsilon_\iota</math>, ja samaan tapaan voitaisiin yrittää löytää <math>\iota</math>:s sellainen ordinaali, jolle <math>\varepsilon_\alpha = \alpha</math> ja niin edelleen. Tätä voitaisiin yrittää järjestelmällisesti, mutta miten tahasa ordinaalit määritellään ja konstruoidaankin, aina on olemassa ordinaali, joka on juuri kaikkien tällä tavoin konstruoitujen ordinaalien yläpuolella Ehkä tärkein ordinaali, joka tähän tapaan rajoittaa konstruointijärjestelmää, on [[Churchin–Kleenen ordinaali]] <math>\omega_1^{\mathrm{CK}}</math> (joka on numeroituva siitä huolimatta, että sen nimessä esiintyy <math>\omega_1</math>). Se on pienin ordinaali, jota tietyssä mielessä ei mitenkään voi esittää laskettavissa olevana funktiona. Myös <math>\omega_1^{\mathrm{CK}}</math>:n alapuolella voidaan kuitenkin määritellä huomattavan laajoja ordinaaleja, jotka mittaavat eräiden [[formaalinen systeemi|formaalisten systeemien]] "todistus­teoreettista vahvuutta"; niinpä esimerkiksi <math>\varepsilon_0</math> mittaa [[Peanon aksioomat|Peanon aksioomeihin]] perustuvan aritmetiikan vahvutta. Voidaan myös määritellä ordinaaleja, jotka ovat suurempia kuin Churchin–Kleenen ordinaali ja joilla niilläkin on merkitystä useilla [[logiikka|logiikan]] aloilla.
 
== Topologia ja ordinaalit ==
46

muokkausta