Wikipedia

Ero sivun ”Vapausaste (termodynamiikka)” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[katsottu versio][katsottu versio]
Uudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
Ak: Uusi sivu: '''Vapausasteet''' on fysikaalisen systeemin tilaa kuvaavia, toisistaan riippumattomia muuttujia. Käsite esiintyy monilla fysiikan aloilla mekaniikasta...
 
Leok (keskustelu | muokkaukset)
seulojat
1 741 muokkausta
p Kirjoitusvirheitä korjattu
Rivi 1:
'''Vapausasteet''' onovat fysikaalisen systeemin tilaa kuvaavia, toisistaan riippumattomia muuttujia.
Käsite esiintyy monilla fysiikan aloilla [[vapausaste (mekaniikka)|mekaniikasta]] alkaen<ref name=f2k /> sekä myös [[vapausaste (tilastotiede)|tilastotieteessä]]<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Pyry-Matti Vasama, Yrjö Vartia | Nimeke = Johdatus tilastotieteeseen, osa 1 | Sivu = 277 | Luku = <math>\chi^2</math>-jakauma | Julkaisija = Gaudeamus | Vuosi = 1973 | Tunniste = 951-662-015-9}}</ref>, mutta erityisen suuri merkitys sillä on [[statistinen mekaniikka|statistisessa mekaniikassa]] ja siihen liittyen [[termodynamiikka|termodynamiikassa]]. Tällöin vapaus­asteiden lukumäärä kuvaa sitä, kuinka monella tavalla systeemin [[sisäenergia]] voi jakautua esimerkiksi [[molekyyli]]en eri liike­suuntien sekä etenemis- ja pyörimis­liikkeen välillä. Systeemin vapaus­asteet yhdessä muodostavat sen [[faasiavaruus|faasi­avaruuden]].
 
Rivi 6:
Fysikaalisen systeemin vapaus­asteella tarkoitetaan tavallisimmin niitä [[reaaliluku|reaali­arvoisia]] parametreja, joita tarvitaan systeemin tarkkaan kuvaamiseen.
 
Tarkastellaan esimerkiksi pistemäistä hiukkasta, joka voi liikkua kolmi­ulotteisessa avaruudessa kaikkiin suuntiin. Sen sijainti avaruudessa voidaan ilmaista kolmella koordinaatilla: ''x'', ''y'' ja ''z''. Hiukkasen liikesuunta ja nopeus voidaan niin ikään ilmaista kolmella nopeusvektorin komponentilla: ''v''<sub>''x''</sub>, ''v''<sub>''y''</sub> ja ''v''<sub>''z''</sub>. Jos systeemin ajallinen kehitys on [[determinismi|deterministinen]] eli sen tila yhdellä hetkellä määrittää yksi­käsitteisesti sen sijainnin ja nopeuden myös kaikkina menneinä ja tulevina ajankohtina, tällaisella systeemillä on kuusi vapaus­astetta, jotka vastaavat kolmea paikka­koordinaattia ja kolmea nopeus­vektorin komponenttia. Jos hiukkasen liike on rajoitettu pienepäänpienempään määrään ulottuvuuksia&nbsp;– jos se esimerkiksi voi liikkua vain jotakin lankaa pitkin tai vain tietyllä pinnalla&nbsp;– systeemillä on vähemmän kuin kuusi vapaus­astetta. Toisaalta systeemillä, joka voi myös pyöriä tai värähdellä, voi olla enemmän kuin kolme vapaus­astetta. Hiukkaseen vaikuttavalla voimalla, joka riippuu vain hiukkasen sijainnista ja nopeudesta, on samat vapaus­asteet kuin hiukkasellakin.
 
Samaan tapaan [[statistinen mekaniikka|statistisessa mekaniikassa]] vapaus­asteet ovat [[skalaari]]sia lukuja, joka määrittävät systeemin tietyn [[mikrotila]]n.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = F. Reif | Nimeke = Fundamentals of Statistical and Thermal Physics | Sivu = 51 | Julkaisija = Waveland Press, Inc | Julkaisupaikka = Long Grove, Illinois | Vuosi = 2009 | Tunniste = ISBN 1-57766-612-7}}</ref> Systeemin kaikkien mikrotilojen arvot muodostavat pisteen systeemin [[faasiavaruus|faasi­avaruudessa]].
Rivi 18:
[[Tiedosto:Degrees of freedom (diatomic molecule).png|thumb|right|Eri tapoja visualisoida kaksiatomisen molekyylin kuusi vapaus­astetta. (CM: systeemin [[massakeskipiste]], T: [[siirtoliike]], R: [[pyöriminen|pyörimisliike]], V: molekyylin [[värähtely]]liike.)]]
 
kolmiKolmi­ulotteisessa avaruudessa hiukkasen etenemis­liikkeeseen liittyy kolme vapaus­astetta. Kaksi­atomisella molekyylillä vapaus­asteita on kaikkiaan kuusi. Ne voidaan jakaa molekyylin etenemisen, pyörimisen ja värähdysliikkeen vapaus­asteeseen. Molekyylin [[massakeskipiste]]en liikkeellä vapaus­asteita on samat kolme kuin yksittäisellä hiukkasellakin. Lisäksi molekyylillä on kaksi [[pyöriminen|pyörimis­liikkeen]] ja yksi [[värähtely|värähdys­liikkeen]] vapaus­aste. Molekyyli voi nimittäin pyöriä minkä tahansa sellaisen akselin ympäri, joka on molekyylin kahden atomin keskipisteiden välisen janan [[keskinormaalitaso]]lla, ja niinpä nämä mahdolliset akselit muodostavat kaksi­ulotteisen tason. Sen sijaan pyörimistä atomien välisen sidos­suoran ympäri ei pidetä vapausasteena, koska tällöin kummankaan atomin ytimen sijainti ei muutu. Värähtely taas tapahtuu siten, että atomien ytimet vuoroin lähestyvät toisiaan, vuoroin etääntyvät toisistaan, mutta tällä on vain yksi vapaus­aste. Niinpä kaksiatomisella molekyylillä vapaus­asteita on kaikkiaan:
:<math>3N = 6 = 3 + 2 + 1.</math>
 
Rivi 49:
Tämä tulos pätee kuitenkin vain yksiatomisille kaasuille, joissa pyörimis- ja värähdys­liikkeen vapaus­asteita ei tarvitse ottaa huomioon. Useampiatomisten kaasujen tapauksessa luku 3 on tässä korvattava kaikkien vapausasteiden lukumäärällä.
 
Seuraava taulukko osittaaosoittaa erilaisten molekyylien vapaus­asteiden lukumäärät:
 
{| class="wikitable"
Rivi 70:
| Värähtely
| align="center" | 0
| align="center" | ''N'' -− 5
| align="center" | ''N'' -− 6
|-
| '''Yhteensä'''
Rivi 80:
 
==Riippumattomat vapaus­asteet==
Systeemin vapaus­asteiden joukko ''X''<sub>1</sub>,...,''X''<sub>''N''</sub> on ''riippumaton''', jos siihen liittyvä energia voidaan esittää seuraavassa muodossa:
:<math>E = \sum_{i=1}^N E_i(X_i),</math>
 
Rivi 87:
Esimerkki: Jos ''X''<sub>1</sub> ja ''X''<sub>2</sub> ovat kaksi vapaus­astetta ja ''E'' niihin liittyvä energia:
:* Jos <math>E = X_1^4 + X_2^4</math>, nämä kaksi vapaus­astetta ovat riippumattomat.
:* Jos <math>E = X_1^4 + X_1 X_2 + X_2^4</math>, vapaus­asteet ''eivät''' ole riippumattomat. Koordinaattien ''X''<sub>1</sub> ja ''X''<sub>2</sub> tulon sisältävä termi yhdistää nämä toisiinsa ja kuvaa vapaus­asteiden välistä vuorovaikutusta.
 
Jos vapausasteet ovat riippumattomat, kaikilla vapausasteilla ''X''<sub>i</sub>, joilla ''i'':n arvot vaihtelevat 1:stä ''N'':ään, energia on jakautunut [[Maxwellin-Boltzmannin jakauma]]n mukaisesti. Sen [[tiheysfunktio|todennäköisyystiheysfunktio]] on tällöin:
Rivi 105:
Esimerkiksi jos ''X''<sub>1</sub> ja ''X''<sub>2</sub> ovat kaksi vapaus­astetta ja ''E'' niihin liittyvä energia, niin:
:* Jos <math>E = X_1^4 + X_1^3 X_2 + X_2^4</math>, nämä kaksi vapausastetta eivät ole riippumattomia eivätkä neliöllisiä.
:* Jos <math>E = X_1^4 + X_2^4</math>, nämä kaksi vapausastetta ovat riippumattomat, mutta eivät neliöllisiä.
:* Jos <math>E = X_1^2 + X_1 X_2 + 2X_2^2</math>, nämä kaksi vapausastetta eivät ole riippumattomia, mutta ne ovat neliöllisiä.
:* Jos <math>E = X_1^2 + 2X_2^2</math>, nämä kaksi vapausastetta ovat riippumattomat ja neliölliset.
 
Rivi 126:
 
==Vapausasteet kvanttimekaniikassa==
Systeemin tilan kuvaaminen pisteellä faasiavaruudessa on matemaattisesti kätevää, mutta perustavalla tavalla epätarkkaa. [[Kvanttimekaniikka|Kvanttimekaniikassa]] etenemisliikkeen vapausasteet korvataan [[aaltofunktio]]lla, ja [[operaattori (matematiikka)|operaattorit]], joilla muut vapausasteet korvataan, voivat saada vain tiettyjä [[diskreetti|diskreettejä]] arvoja. Esimerkiksi [[elektroni]]n tai [[fotoni]]n sisäisellä [[impulssimomentti|impulssimomentilla]], joka vastaa pyörimisliikkeen vapausasteita, on vain kaksi [[ominaisarvo]]a. Tämä diskreettiys ilmenee, kun [[vaikutus (fysiikka)|vaikutus]] on [[Planckin vakio]]n suuruusluokkaa ja eri vapausasteet voidaan erottaa toisistaan.
 
{{käännös|:en:Degrees of freedom (physics and chemistry)}}
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Vapausaste_(termodynamiikka)”