Ero sivun ”Nagelin piste” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Linkin päivitys |
|||
Rivi 29:
Merkitään kärjen <math>\scriptstyle A</math> vastaisen sivun <math>\scriptstyle BC</math> tangenttipistettä <math>\scriptstyle A'</math> ja tarkastellaan janojen pituuksia ensin kärken <math>\scriptstyle A</math> kannalta. Kärjen <math>\scriptstyle A</math> vasemman sivulla kärjessä <math>\scriptstyle C</math> risteää kaksi sivusuoraa, jotka voidaan myös tulkita yhteisen ympyrän tangenteiksi. Silloin on <math>\scriptstyle |CAv| =| CA'|</math> (1). Vastaava tilanne on pisteessä <math>\scriptstyle B</math>, jossa <math>\scriptstyle |BAo| = |BA'| </math> (2). Kun jana <math>\scriptstyle AA_v</math> kirjoitetaan pisteen <math>\scriptstyle C</math> avulla murtoviivana <math>\scriptstyle ACA_v</math> ja <math>\scriptstyle AA_o</math> vastaavasti <math>\scriptstyle ABA_o</math>, voidaan edellisestä ((1) ja (2)) johtuen kirjoittaa <math>\scriptstyle |AAv| = |ACAv| = |ACA'|</math> ja <math>\scriptstyle |AAo| = |ABAo| = |ABA'|</math>.
Edellinen havainto tulkitaan seuraavasti. Kärjestä <math>\scriptstyle A</math> on vastaiselle sivulle pisteeseen <math>\scriptstyle A'</math> yhtä pitkä matka kuljettiinpa kärjen <math>\scriptstyle B</math> tai <math>\scriptstyle C</math> kautta. Matka on puolet kolmion piiriin pituudesta. Samanlainen tarkastelu tuottaa vastaavan tuloksen kärkien <math>\scriptstyle B</math> ja <math>\scriptstyle C</math> osalta, jolloin pisteet <math>\scriptstyle B'</math> ja <math>\scriptstyle C'</math> ovat puolen piirin matkan päässä vastinkärjistään.
Edelleen, kun esimerkiksi suoran <math>\scriptstyle AB</math> janat <math>\scriptstyle AA_o</math> eli <math>\scriptstyle ABA_o</math> ja <math>\scriptstyle BB_v</math> eli <math>\scriptstyle BAB_v</math> sisältävät yhteisen osan <math>\scriptstyle AB</math>, ovat myös päät <math>\scriptstyle BA_o</math> ja <math>\scriptstyle AB_v</math> yhtäpitkät. Soveltamalla ideaa kaikille sivuille, voidaan kirjoittaa
Rivi 38:
[[Cevan lause]]tta mukaellen
:<math>\frac{AC'}{C'B} \cdot \frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} = \frac{AC'}{\cancel {CB'}} \cdot \frac{BA'}{AC'} \cdot \frac{\cancel {CB'}}{BA'} = \frac{\cancel {AC'}}{1} \cdot \frac{\cancel {BA'}}{\cancel {AC'}} \cdot \frac{1}{\cancel {BA'}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} = 1.</math>
Cevan lauseen mukaan janat <math>\scriptstyle AA'</math>, <math>\scriptstyle BB'</math> ja <math>\scriptstyle CC'</math> ovat [[konkurrenssi|konkurrentit]].
== Lähteet ==
=== Viitteet ===
{{viitteet|viitteet=
* <ref name=nimgeo>Matematiikkakilpailut.fi: [http://matematiikkakilpailut.fi/kirjallisuus/nimigeom.pdf Nimekästä geometriaa
* <ref name=ck>{{Verkkoviite | osoite = http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html | nimeke = Encyclopedia | tekijä = Kimberling, Clark | tiedostomuoto = html | julkaisu = Tekijän kotisivut | ajankohta = 2013 | julkaisupaikka = Evansville | julkaisija = Evansvillen Yliopisto | viitattu = 20.4.2013 | kieli = {{en}} }}</ref>
* <ref name=kc>Kimberling, Clark: [http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/nagel.html Nagel Point]</ref>
| |||