Wikipedia

Ero sivun ”Polynomi” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][katsottu versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
p Botti lisäsi luokkaan Seulonnan keskeiset artikkelit
LKFbot (keskustelu | muokkaukset)
botit
38 359 muokkausta
p Linkkifix: rengas -> rengas (matematiikka) using AWB
Rivi 2:
Matematiikassa '''polynomi''' on lauseke, joka saadaan yhdestä tai useammasta [[muuttuja]]sta ja [[vakio]]ista yhteen-, vähennys- ja kertolaskulla, sekä positiiviseen kokonaislukueksponentin osoittamaan [[potenssi]]in korottamisella. Esimerkiksi lauseke <math>x^2 - 4x + 7\,</math> on polynomi. Lausekkeet, joissa on muuttujia myös [[jakaja]]ssa, eivät ole polynomeja. Polynomit ovat samalla yksi laji matemaattisia [[funktio]]ita.
 
Polynomi koostuu yhdestä tai useammasta [[termi (matematiikka)|termistä]], joiden sisällä ei esiinny muita laskutoimituksia kuin kertolaskua sekä potenssiin korotusta. Jos termejä on vain yksi, on kyseessä [[monomi]]. Jos niitä on kaksi, sanotaan polynomia [[binomi]]ksi ja jos niitä on kolme, [[trinomi]]ksi. Edellä esitetty polynomi on siis trinomi, jonka termit ovat x², -4x ja 7.
 
Koulumatematiikassa polynomeja käytetään etenkin seuraavankaltaisissa tehtävissä: Ratkaise ''x'' yhtälöstä ''x''² + 2''x'' = 4. Tällöin on kyse [[analyysi (matematiikka)|analyysi]]ssä käsitellyistä '''polynomifunktioista'''. Polynomeja esiintyy kuitenkin matematiikassa hyvin laajalti, eikä niiden funktiotulkinta suinkaan ole aina oleellinen. Esimerkiksi [[generoiva funktio|generoivia funktioita]] esitetään polynomeilla, mutta ne eivät nimestään huolimatta ole funktioita lainkaan.
Rivi 10:
==Polynomi renkaassa==
 
[[rengasRengas (matematiikka)|Renkaassa]] ''R'' voidaan määritellä polynomi ''p(x)'', <math>p(x) = a_0 + a_1 x+ \cdots + a_n x^n</math>, missä <math>n \geq 0, a_i \in R \forall i</math>. Selvästi tällainen polynomi vastaa ääretöntä jonoa <math>(a_1,a_2,...,a_n,0,0,0,...)</math>, jossa taas kaikki ''a<sub>i</sub>'' ovat renkaan ''R'' alkioita. Polynomien voidaan siis ajatella olevan vain muodollisia kirjoitelmia, joissa ''x'' on pelkkä symboli, määräämätön. Muodollisille kirjoitelmille voidaan määritellä polynomien yhteen- ja kertolaskua vastaavat laskutoimitukset, jolloin muodostuu [[polynomirengas]] <math>R[x]</math>. Polynomirenkaita käsiteltäessä polynomeja ajatellaan joko muodollisina kirjoitelmina tai funktioina riippuen siitä, kumpi on tarkoituksellisempaa. Valitsemalla ''p''(''x''):n määritelmässä, että rengas ''R'' on reaalilukurengas, saadaan peruskoulusta tutut polynomit.
 
Suurinta lukua ''n'', jolla ''a<sub>n</sub>'' ≠ 0 kutsutaan polynomin [[Aste (polynomi)|asteeksi]]. Alla esiintyvien laskulakien säilyttämiseksi myös nollapolynomin tapauksessa määritellään sille erikseen, että aste = -∞. Polynomin ''f''(''x'') astetta merkitään deg(''f''(''x'')), joka selkeyden vuoksi usein lyhennetään muotoon deg ''f''(''x''). Asteet toteuttavat muun muassa seuraavat laskulait:
Rivi 40:
==Polynomeja matematiikan eri aloilta==
 
[[Lineaarialgebra]]ssa neliömatriisin karakteristinen polynomi sisältää useita tärkeitä matriisin ominaisuuksia.
 
[[Verkkoteoria]]ssa verkon muuttujan ''x'' kromaattiset polynomit kertovat kuinka monella tavalla verkko voidaan värittää ''x'' värillä.
 
[[kombinatoriikka|Kombinatoriikassa]] käytetään [[generoiva funktio|generoivia funktioita]], joita käyttäen monet kombinatoriset tarkastelut voidaan palauttaa polynomien käsittelyksi. Tarkastellaan esimerkin vuoksi vaaleja, jossa erässä vaalipiirissä on ehdolla kaksi vasemmiston ehdokasta. Tällöin vaaleja edustaa generoiva funktio ''f''(''x'') = 1 + 2''x'' + ''x²'', jossa siis ''x<sup>k</sup>'':n kerroin kertoo, kuinka monella tavalla ''k'' vasemmistolaista voidaan valita. Jos jossain toisessa vaalipiirissä on myös ehdolla kaksi ehdokasta, tässä vaalipiirissä vaaleja edustaa myös ''f''(''x''). Vastaus kysymykseen, kuinka monella tavalla näissä kahdessa vaalipiirissä yhdessä voidaan valita ''s'' vasemmistolaista saadaan tulopolynomin astetta ''s'' olevan termin kertoimesta.
Rivi 48:
==Polynomien yleistyksiä==
 
Yllä polynomi määriteltiin siten, että alin esiintyvä ''x'':n eksponentti on 0. Joissain tilanteissa on kätevää ottaa mukaan myös negatiiviset eksponentit, jolloin saadaan muotoa <math>a_{-m}x^{-m}\cdots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1 x+ \cdots + a_n x^n</math> olevia lausekkeita. Tällaisia yleistettyjä polynomeja kutsutaan [[Laurentin polynomi|Laurentin polynomeiksi]].
 
Toinen mahdollinen yleistys ovat [[usean muuttujan polynomi]]t, joiden yleinen muoto on <math>\sum_{j_1 + \cdots + j_k = 0}^{n} a_{j_1,j_2,\dots,j_k} x_1^{j_1} \cdots x_k^{j_k}</math>. Hyväksymällä summauksen aloittaminen negatiivisesta luvusta saadaan [[usean muuttujan Laurentin polynomit]].
Rivi 56:
==Polynomit koulumatematiikassa==
 
'''Polynomi koostuu yhdestä tai useammasta [[monomi]]sta.''' Monomia sanotaan myös [[termi]]ksi.
 
Esim. 1. <math>x^3+6x^2-7x\,</math> on polynomi, joka koostuu kolmesta [[monomi]]sta.
 
Merkitään <math>f(x)=x^3+6x^2-7x\,</math> ja <math>g(x)=2x^4+3x^2-5x+2\,</math>.
Rivi 64:
'''Polynomeja voidaan laskea yhteen ja vähentää.''' Täytyy muistaa, että vain ne monomit, joissa on sama muuttujaosa, voidaan yhdistää.
 
Esim. 2. Lasketaan yhteen polynomit <math>f(x)\,</math> ja <math>g(x)\,</math>,
 
<math>f(x)+g(x)=x^3+6x^2-7x+(2x^4+3x^2-5x+2)\,</math>. Sulkeet voidaan poistaa, koska niiden edessä on plus-merkki. Lasketaan yhteen monomit, joissa on sama muuttujaosa.
Rivi 87:
 
'''Polynomien kertolasku''' on sitten jo monimutkaisempi juttu. Se selviää parhaiten esimerkin avulla. '''Katso esim. 7'''. Täytyy muistaa, että "kaikki kerrotaan kaikilla."[[Kuva:Polynomienkertolasku3.png|thumb|400px|Esim. 7. Polynomien kertolasku.]]
 
 
 
 
 
 
 
 
== Lähteet ==
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Polynomi”