Avaa päävalikko

Muutokset

28 merkkiä poistettu ,  4 vuotta sitten
p
oikeinkirjoitus, typos fixed: tetiin → tettiin using AWB
 
'''Symmetria''' merkitsee tasasuhtaisuutta, kokonaisuuden eri osien välistä yhden­mukaisuutta.<ref name=Aikio>{{kirjaviite | Tekijä = Annukka Aikio | Nimeke = Uusi sivistyssanakirja | Sivu = 586 | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1975 | Tunniste = ISBN 951-1-00944-3}}</ref>
Laajemmassa merkityksessä symmetria voi tarkoittaa sopu­suhtaista ja kaunista suhdetta ja tasapainoa.<ref>{{kirjaviite|Tekijä = Roger Penrose|Nimeke = Fearful Symmetry|Julkaisija = Princeton|Vuosi = 2007 | Tunniste = ISBN 978-0-691-13482-6}}</ref><ref name="classical001">Esimerkiksi [[Aristoteles]] väitti taivaankappaleiden olevan pallon muotoisia, koska pallo mahdollisimman symmetrisenä muotona oli ainoa sopiva muoto täydellisessä kosmoksessa</ref> Täsmällisemmässä matemaattisessa merkityksessä symmetrialla tarkoitetaan jonkin kokonaisuuden eri osien yhtäläisyyttä, joka voidaan osoittaa jossakin muodollisessa järjestelmässä kuten [[geometria]]ssa tai [[fysiikka|fysiikassa]].
 
Sana symmetria johtuu kreikan kielen sanoista συμμετρεῖν (symmetrein), joka merkitsee [[yhteismitallisuus|yhteis­mitallisuutta]].<ref name=Aikio />
 
==Symmetria geometriassa==
Monille ihmisille tutuin symmetrian muoto on geo­metrinen symmetria. Kuvion tai kappaleen geo­metrinen symmetria merkitsee sitä, että on olemassa joukko geometrisia [[kuvaus|kuvauksia]], jotka säilyttävät kuvion kappaleen ennallaan. Nämä kuvaukset muodostavat aina jonkin algebrallisen [[ryhmä (matematiikka)|ryhmän]], jota sanotaan kuvion tai kappaleen ''symmetriaryhmäksi''. Kappaleen symmetria­ryhmän määrittelee se, missä eri muunnoksissa se säilyy muuttumattomana.
 
Tärkeitä geometrisia kuvauksia ovat erityisesti [[yhtenevyys]]kuvaukset eli [[isometria]]t, joita ovat [[peilaus|peilaukset]], [[rotaatio]]t, [[translaatio]]t ja näistä yhdistetyt kuvaukset.<ref name="Higher dimensional group theory'">[http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm `Higher dimensional group theory']</ref>
 
===Peilisymmetria===
[[Tiedosto:Simetria-reflexion.svg|right|200px|]]
[[Tiedosto:Simetria-bilateria.svg|thumb | right | 200px | Bilateraalisesti symmetrinen perhonen]]
 
 
===Pyörähdyssymmetria===
[[Tiedosto:Simetria-rotacion.svg|right|200px|]]
 
Pyörähdyssymmetria on symmetriaa kaikkien tai joidenkin [[rotaatio]]iden suhteen ''m''-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Rotaatiot ovat ''suoria isometrioita'', toisin sanoen niissä [[orientaatio]] säilyy. Tämän vuoksi rotaatio­symmetrian symmetria­ryhmä on jokin [[SE(3)|E<sup>+</sup>(''m'')]]:n aliryhmä.
[[Pyörähdyskappale]] on kappale, joka on symmetrinen kaikkien tietyn akselin ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Esimerkiksi [[kartio]] ja [[lieriö]] ovat pyörähdys­kappaleita.
 
Tasokuviosta [[ympyrä]] on symmetrinen kaikkien sen keskipisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Jokainen [[Säännöllinen monikulmio|säännöllinen n-kulmio]] on symmetrinen sellaisten sen keski­pisteen ympäri rotaatioiden suhteen, joissa kiertokulma on 360°/n tai jokin tämän monikerta.
 
Jos jokin asia on symmetrinen kaikkien, minkä tahansa pisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen, se on myös symmetrinen kaikkien siirtojen suhteen, minkä vuoksi symmetriaryhmä on koko E<sup>+</sup>(''m''). Tällaisia kappaleita ei ole, koska ne täyttäisivät koko avaruuden, mutta tällainen symmetria on monilla fysikaalisilla laeilla.
 
===Liukuheijastussymmetria===
[[Tiedosto:Simetria-antitraslacional.svg|right|200px|]]
 
[[Liukuheijastus]]symmetria (kolmessa ulottuvuudessa liuku­taso­symmetria) merkitsee sitä, että peilaus suoran tai tason suhteen yhdistettynä siirtoon tätä suoraa tai tasoa pitkin tuottaa tuloksena alku­peräisen kohteen. Jos kohteella on tällainen symmetria, se on myös siirto­symmetrinen sellaisen trans­laation suhteen, jossa siirto­vektori on kaksin­kertainen. Symmetria­ryhmä on [[isomorfia|isomorfinen]] [[kokonaisluku]]jen joukon <math>\mathbb{Z}</math> kanssa.
 
===Rotorefleksiosymmetria===
[[Tiedosto:Simetria-rotoreflexion.svg|right|200px|]]
Kolmessa ulottuvuudessa rotorefleksio eli [[epäaito rotaatio]] merkitsee rotaatiota jonkin akselin ympäri yhdistettynä peilaukseen jonkin sitä vastaan kohti­suoran tason suhteen, johon tämä akseli sisältyy. Tällaisen roto­refleksion symmetria­ryhmä on eri tapauksissa erilainen: se voi olla joko:
*jos kulmalla ei ole yhteistä tekijää 360°:n kanssa, symmetria­ryhmä ei ole diskreetti
 
===Kierteinen symmetria===
[[Tiedosto:Simetria-helicoidal.svg|right|200px|]]
[[Kierre|Kierteinen]] eli helikaalinen symmetria on monilla tutuilla esineillä kuten [[kierrejousi|kierre­jousilla]], [[pora]]nterillä ja [[ruuvi|ruuveilla]].
Symmetria­operaation muodostaa tällöin rotaatio akselin ympäri yhdistettynä tietyn suuruiseen siirtoon tätä akselia pitkin. Tämä voidaan ajatella saatavan aikaan kun se siirtyy tätä akselia pitkin tasaisella nopeudella. Joka hetki näiden liikkeiden välillä on vakiona pysyvä kulma, kierto­kulma, jonka mukaan kohteen ominaisuudet tarkemmin määräytyvät. Jos kulmanopeus on suuri ja etenemisnopeus pieni, kiertokulma on lähellä nollaa, Jos taas pyöriminen on hidasta ja eteneminen nopeaa, kiertokulma on lähellä 90 astetta.
;Ääretön kierteinen symmetria: Jos kierteisen kappaleen poikki­leikkaus missä tahansa kohdassa on saman­lainen, sillä on ääretön kierteinen symmetria. Esimerkkeinä ovat tyypilliset kierre­jouset ja poran­terät.
 
;n-kertainen kierteinen symmetria: Jos lievennetään ehtoa, että kappaleen poikki­leikkauksen on oltava joka kohdassa samanlainen, voidaan määritellä muita lievempiä kierteisiä symmetrioita. Esimerkiksi kappaleen poikki­leikkaus voi vaihdella muodoltaan mutta toistua saman­laisena aina, kun akselia pitkin edetään tietyn suuruinen väli­matka. Tämän seurauksena symmetria ilmenee, kun kappaletta kierretään tietyn kulman &theta; verarn ja samalla siirretään akselin suunnassa tietyn matkan verran. Jos tämä kulma &theta; on 360 astetta jaettuna jollakin kokonais­luvulla, tulos on säännöllisen moni­kulmion kierteinen vastine. Tätä sanotaan ''n-kertaiseksi kierteiseksi symmetriaksi''. Käsitettä voidaan edelleen yleistää siten, että &theta; on jokin täyden kierroksen eli 360°:n moni­kerta; tällöin on tehtävä useampi täysi kierros, ennen kuin kappale palautuu ennalleen.
 
;ei-toistuva kierteinen symmetria: Tämä saadaan, jos kierto­kulma, joka tarvitaan symmetrian toteamiseksi, on [[irrationaaliluku|irrationaalinen]]. Tällöin kierto ei koskaan toistu täysin samanlaisena, kierrettiinpä kappaletta akselinsa ympäri kuinka monta kertaa tahansa.
==== Ajan nuoli ====
 
Kaikki [[klassinen mekaniikka|klassisen mekaniikan]] ja [[sähkömagnetismi]]n perus­lait ovat symmetrisiä myös ajan suhteen siten, että jos jokin ilmiö on niiden mukaan mahdollinen, se on mahdollinen myös käänteiseen suuntaan. Niinpä mikään fysiikan laki ei estäisi esimerkiksi [[planeetta|planeettoja]] kiertämästä Auringon ympäri päin­vastaiseen suuntaan.
 
Joka­päiväisen kokemuksemme perusteella [[aika]] vaikuttaa kuitenkin perustavalla tavalla epä­symmetri­seltä: [[menneisyys|mennei­syy­dellä]] ja [[tulevaisuus|tule­vai­suu­della]] näyttää olevan ratkaiseva ero. Tämä ilmenee erityisesti siinä, että [[muisti|muistamme]] mennei­syyden mutta emme tule­vai­suutta,<ref name=Hawking>{{kirjaviite |Tekijä = Stephen Hawking | Nimeke = Ajan lyhyt historia | Sivu = 144-147 | Julkaisija = WSOY | Suomentaja = Risto Varteva | Vuosi = 1988 | Isbn = 951-0-14092-4}}</ref> toisaalta voimme vaikuttaa tule­vai­suu­teen mutta emme mennei­syy­teen, ja yleensäkin syy on aina ennen seurausta. Viimeksi mainittu seikka ilmaistaan [[suppea suhteellisuusteoria|suppeassa suhteellisuus­teoriassa]] [[kausaliteetti|kausali­teetin]] invari­anssina. Lisäksi useimmat ympärillämme havaitsemamme ilmiöt ovat selvästi [[irreversiibeli|irrever­sii­be­lejä]] eli ne eivät voi tapahtua päinvastaiseen suuntaan: esimerkiksi pöydältä lattialle pudonnut astia saattaa särkyä, mutta sen sirpaleet eivät itsestään kokoonnu takaisin ehjäksi astiaksi. Niinpä jos mitä [[elokuva]]a näytetään takaperin, katsojat huomaavat asian yleensä heti.<ref name=Hawking />. [[Arthur Eddington]] antoi tälle ajan epäsymmetrisyydelle nimen [[ajan nuoli]]. [[Kosmologia|Kosmologisella]] tasolla ajan epä­symmetri­syys ilmenee [[maailmankaikkeuden metrinen laajeneminen|maailman­kaikkeuden metri­senä laaje­nemi­sena]].<ref name=Hawking />
 
On osoittautunut, että arki­elämän ilmiöiden ajallinen epä­symmetria eli irrever­sii­beliys perustuu kaikissa tapauk­sissa viime kädessä [[termodynamiikan toinen pääsääntö|termo­dymaniikan toiseen pää­sääntöön]]
Toinen inhimillinen toiminta, jossa tuloksen ulkonäöllä on suuri merkitys, on [[arkkitehtuuri]]. Sekä entisinä että nyky­aikana suurten rakenteiden tarkoitus on usein tehdä vaikutus ne näkeviin ihmisiin tai jopa säikähdyttää heitä, ja tällaisen tavoitteen saavuttaminen edellyttää yleensä symmetrian käyttöä.
 
Muutamia esimerkkejä muinaisajan arkki­tehtuu­rista, jossa symmetriaa käytetiinkäytettiin voimakkaan vaikutuksen aikaan­saamiseksi, ovat [[Egyptin pyramidit]], [[Ateena]]n [[Parthenon]], ensimmäinen ja toinen [[Jerusalemin temppeli]], Kiinan [[Kielletty kaupunki]], [[Kamputsea]]mn [[Angkor Wat]] -rakennusryhmä sekä [[esikolumbiaaniset kulttuurit|esi­kolumbi­aanisten kulttuurien]] monet temppelit ja pyramidit. Myöhäisemmältä ajalta voidaan mainita [[goottilainen tyyli|goottilaiset]] katedraalit sekä Yhdysvaltain presidentti [[Thomas Jefferson]]in auintalo [[Monticello]]. [[Taj Mahal]] on myös hyvä esimerkki symmetriasta arkkitehtuurissa.<ref>[http://books.google.fr/books?id=Dk-xS6nABrYC&pg=PA269&dq=taj+mahal+example+of+symmetry&hl=fr&sa=X&ei=oB7jT_PsMoLntQbfubnBBg&ved=0CGQQ6AEwCA#v=onepage&q=taj%20mahal%20example%20of%20symmetry&f=false Gregory Neil Derry (2002), ''What Science Is and How It Works'', Princeton University Press, p. 269]</ref>
 
Mielenkiintoinen esimerkki rikkoutuneesta symmetriasta arkkitehtuurissa on [[Pisan kalteva torni]], jonka kuuluisuus ei johdu mistään sen pienestä osasta eikä sen alun perin tarkoitetusta symmetriasta vaan symmetrian rikkoutumisesta sen kääntyessä kallelleen jo rakennus­vaiheessaan. Nykyaikaisia esimerkkejä arkkitehtuurista, joka tekee vaikutuksen mutkikaalla erilaisten symmetrioiden käytöstä, ovat [[Sydneyn oopperatalo]] [[Australia]]ssa ja yksinkertaisempi [[Astrodome]] [[Houston]]issa, [[Texas]]issa.
===Musiikissa===
<imagemap>
Tiedosto:Major and minor triads.png|300px|thumb|right|<span style="color:red;">Duuri-</span> ja <span style="color:blue;">molli</span>kolmisoinnut pianon valkoisilla koskettimilla ovat symmetriset D:n suhteen. Katso [[sävellaji]].<small>[[:File:Major and minor triads.png|<span style="color:#aaa;">(file)</span>]]</small>
 
poly 35 442 35 544 179 493 [[molli|A-mollikolmisoinnun pohjasävel]]
====Sävelasteikkojen rakenteet====
 
Symmetria liittyy huomattavalla tavalla myös musikaalisten [[sävelasteikko|sävelasteikkojen]]jen ja [[sointu]]jen muodostumiseen. Perinteinen [[tonaalisuus|tonaalinen musiikki]] kuitenkin perustuu epä­symmetriseen [[diatoninen asteikko|diatoniseen asteikkoon]] ja niin ikään epäsymmetrisiin [[duuri]]- ja [[molli]][[kolmisointu]]ihin. Symmetristen asteikkojen ja sointujen kuten [[kokosävelasteikko|koko­sävel­asteikon]], [[ylinouseva kolmisointu|yli­nousevan kolmi­soinnun]] ja [[vähennetty nelisointu|vähennetyn neli­soinnun]] sanotaan olevan vailla selvää suuntaa ja etenevää liikettä. Niistä ei ilmene [[sävellaji]]n [[perussävel]] eli tonaalinen keskus. Kuitenkin säveltäjät kuten [[Alban Berg]], [[Béla Bartók]] ja [[George Perle]] ovat käyttäneet symmetria-akseleita tai intervallien muodostamia syklejä.
 
Perle selitti asian vuonna 1992 näin: "C-E, D-G ja Es-G ovat saman [[intervalli]]n eri esiintymiä. … toisenalainen identeetti … liittyy symmetria-akseleihin.
C-E kuuluu symmetrisessä suhteessa toisiinsa olevien dyadien perheeseen seuraavasti:"
 
 
 
{|
10 638

muokkausta