Ero sivun ”Momenttifunktio” versioiden välillä

Satunnaismuuttujien jakaumien tunnuslukujen joukossa on erilaisia momentteja. Yleensä halutaan käyttää ''tavallisia momentteja'' <math>E([X^r)]</math> eli ''origomomentteja'' sekä ja ''keskusmomentteja'' <math>E([(X-\mu)^r)],</math> missä <math>\mu = E([X)].</math> Satunnaismuuttujalle voidaan muodostaa myös ''tekijämomentteja'', jotka määritellään <math>E([X^{(r)})]=E([X(X-1)(X-2)...(X-r+1))].</math> <ref name=liski77/>

Momenttifunktio liittyy momentteihin siten, että momenttifunktion r. kertaluvun [[Derivaatta|derivaattojen]] arvot kohdassa nolla antavat satunnaismuuttujan <math>X</math> r. origomomentit: <math>M(0)^{(r)}=E([X^r)].</math> Origomomentit saadaan seuraavasti (eksponenttifunktion sarjamuodostelman merkinnöillä): <ref name=liski77/><ref name=MomentGeneratingFunction/>

* <math>M(t)=E([e^{tX})]</math>, jolloin <math>M(0)=E([e^{0\cdot X})]=E([1)]=1</math>

* <math>M'(t)=E([Xe^{tX})]</math>, jolloin <math>m_1=M'(0)=E([Xe^{0\cdot X})]=E([X)]</math>

*<math>M''(t)=E([X^2e^{tX})]</math>, jolloin <math>m_2=M''(0)=E([X^2e^{0\cdot X})]=E([X^2)]</math>

*<math>M^{(r)}(t)=E([X^re^{tX})]</math>, jolloin <math>m_{r-1}=M^{(r)}(0)=E([X^re^{0\cdot X})]=E([X^r)]</math>