Ero sivun ”Odotusarvo” versioiden välillä

'''Odotusarvo''' on [[Matematiikka|matematiikassa]] ja erityisesti [[Stokastiikka|stokastiikassa]] ja [[todennäköisyyslaskenta|todennäköisyyslaskennassa]] määritelty [[satunnaismuuttuja|satunnaismuuttujan]] [[jakauma]]n [[Painopiste (tilastotiede)|painopiste]]. Odotusarvo on satunnaismuuttujan arvojoukon keskiarvo, jota on painotettu arvojen todennäköisyydellä.

 

Määritellään satunnaismuuttujan <math>\scriptstyle X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> odotusarvo [[integraali]]na yli satunnaismuuttujan perusjoukon <math>\scriptstyle \Omega</math> todennäköisyysmitan <math>\scriptstyle P</math> suhteen

:<math>\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X \, dP</math>.

 

Tämä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan <math>X</math> [[kertymäfunktio]]n <math>F</math> suhteen [[Lebesgue–Stieltjes-integraali]]lla

:<math>\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \, dP(X \leq x) = \int_{-\infty}^{\infty} x \, dF(x)</math>.

 

Määritellään diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo summana

:<math>\operatorname{E}(X) = \sum_i p_i x_i</math>,

missä <math>\scriptstyle x_1, x_2, \ldots</math> ovat satunnaismuuttujan arvot ja <math>\scriptstyle p_1, p_2, \dots</math> vastaavat arvojen todennäköisyydet.

 

Jos satunnaismuuttujalle on olemassa [[tiheysfunktio]] <math>f</math>, odotusarvo supistuu [[Riemannin integraali]]ksi

:<math>\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, dx</math>.