Ero sivun ”Kertymäfunktio” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Jkv (keskustelu | muokkaukset) Ohjaus todennäköisyysjakaumaan |
ojaus korvataan artikkelilla |
||
Rivi 1:
[[Kuva:Proba densite.png|thumb|400px|[[Diagrammi]]ssa on jatkuvan satunnaismuuttujan kuvaaja, johon on väritetty näkyviin tapahtuman "todennäköisyysmassat". Väritetyn alueen määrätty integraalit eli kuvaajan pinta-alat ovat suhteessa tapahtuman todennäköisyyteen.]]
'''Kertymäfunktio''' <ref name=kivela_j3/> eli '''jakaumafunktio''' <ref name=hr/> ({{k-en|cumulative distribution function}}, '''cdf''') on [[todennäköisyyslaskenta|todennäköisyyslaskennassa]] ja [[tilastotiede|tilastotieteessä]] reaaliarvoisen [[satunnaismuuttuja]]n [[todennäköisyys|todennäköisyyden]] jakautumista kuvaava funktio. Kertymäfunktion <math>F(x)</math> arvot ovat todennäköisyyksiä [[tapahtuma (todennäköisyys)|tapahtumissa]], jossa satunnaismuuttuja <math>X</math> saa reuna-arvon <math>x</math> tai sitä pienempiä arvoja eli <math>\scriptstyle F(x)=P(X \le x)</math>. [[Jatkuva satunnaismuuttuja|Jatkuvan satunnaismuuttujan]] tapauksessa kertymäfunktio määritellään [[tiheysfunktio]]n [[määrätty integraali|määrätyn integraalin]] avulla ja [[diskreetti satunnaismuuttuja|diskreetillä satunnaismuuttujalla]] [[pistetodennäköisyysfunktio|pistetodennäköisyyksien]] [[summa|summana]]. Kertymäfunktio on aina [[Jatkuva funktio|jatkuva]], vaikka tiheysfunktio tai pistetodennäköisyysfunktio olisi epäjatkuva.<ref name=kivela_j3/><ref name=hr/><ref name=melin/>
== Määritelmä ==
Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään
:<math>F(x)=P(X \le x)=\sum_{k \le x}p(k),</math> <ref name=hr/><ref name=melin/>
missä <math>p(k)</math> on pistetodennäköisyysfunktion arvo ylärajaa <math>x</math> pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.<ref name=melin/>
Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään määrättynä integraalina ylärajan <math>x</math> suhteen
:<math>F(x)=P(X \le x)=\int_{-\infty}^x f(t) dt,</math> <ref name=kivela_j3/><ref name=melin/>
missä <math>f(x)</math> on satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Tiheysfunktiota havainnollistetaan ajattelemalla sen arvoja "todennäköisyysmassan" korkeutena, missä suuri arvo merkitsee yleistä satunnaismuuttujan arvoa. Kertymäfunktion tapauksessa voidaan edelleen ajatella, että sen arvo tarkoittaisi "todennäköisyysmassan" kokonaismäärää <math>F(a)</math> kohdassa <math>a</math> ja sitä pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.<ref name=ala3t/><ref name=melin/>
Jos tiheysfunktio on jatkuva, saadaan se myös [[derivaatta|derivoimalla]] kertymäfunktio muuttujan suhteen
:<math>F'(x)=f(x).</math> <ref name=kivela_j3/>
== Merkintöjä ==
Jos halutaan korostaa kertymäfunktion satunnaismuuttujaa, merkitään satunnaismuuttuja usein alaindeksiksi <math>F_X(x)</math> ja <math>F_Y(x).</math> Toisinaan merkitään kertymäfunktio [[kreikkalaiset aakkoset|kreikkalaisella aakkosella]] <math>\Phi(x)</math> (lue: "fii"), jos tiheysfunktio on ollut <math>\phi(x)</math> (pieni kirjain).<ref name=ala3t/>
== Esimerkkejä ==
[[Kuva:Discrete probability distribution illustration.png|thumb|350px|Ylin kuvaaja esittää diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktiota, keskimmäinen jatkuvan satunnaismuuttujan ja alin sellaisen satunnaismuuttujan, jolla on kumpaakin piirrettä.]]
=== Diskreetti satunnaismuuttuja ===
[[Diskreetti satunnaismuuttuja|Diskreetin satunnaismuuttujan]] [[pistetodennäköisyysfunktio]]lla saa 10 nollasta eroavaa arvoa
:<math>P(X=x_i)=p(x_i)=f(x_i),</math>
kun <math>i=1,...,10,</math> jotka ovat yhtä suuret eli <math>p(x_i)=\tfrac{1}{10}.</math> Kertymäfunktio saadaan arvoa ''x'' pienempien kohtien todennäköisyyksien summasta eli
:<math>F(x)=P(X \le x) = \sum_{x_i \le x} p_i = p_1+p_2+...+p_k.</math> <ref name=ala3/><ref name="kivela_j3" />
Tämän [[porrasfunktio|porrasfunktion]] arvot ovat oikealta jatkuvia ja sen kuvaaja on esitetty alla.
=== Jatkuva satunnaismuuttuja ===
[[Tasajakauma|Tasaisen jakauman]] tiheysfunktio välillä [a,b] on <ref name=ud/>
:<math>f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{b-a}, & \mbox{jos } x \in [a,b] \\
0, & \mbox{jos } x \notin [a,b]
\end{cases}</math> <ref name=kivela_j3/>
ja sen kertymäfunktioksi saadaan
:<math>F(x)=\int_{-\infty}^x f(t) dt=\begin{cases}
0, & \mbox{jos } x < a \\
\frac{x-a}{b-a}, & \mbox{jos } x \in [a,b] \\
1, & \mbox{jos } x > b .
\end{cases}</math> <ref name=kivela_j3/>
Sen kuvaaja on alla.
<gallery>
Uniform10 cdf.png|Diskreetti jakauma, jossa 10 yhtä todennäköistä arvoa
Binomial distribution cdf sl.svg|[[Binomijakauma]]n kertymäfunktio
Beta distribution cdf.svg|[[Beta-jakauma|Beta-jakaumia]] eri parametreilla
Burr cdf.svg|[[Burrin jakauma|Burrin jakaumia]] eri parametreillä
File:Cauchy cdf.svg|[[Cauchyn jakauma|Cauchyn jakaumia]] eri parametreillä
Chi distribution CDF.png|[[Khi-jakauma|Khi-jakaumia]]
Chi-square cdf.svg|[[χ²-jakauma|χ²-jakaumia]]
Exponential cdf.svg|[[Eksponenttijakauma|Eksonenttijakaumia]] kolmella parametrillä
Frechet cdf.svg|[[Frechet-jakauma|Frechet-jakaumia]] eri parametreillä
Gamma distribution cdf.svg|[[Gammajakauma|Gammajakaumia]] eri parametreillä
Maxwell-Boltzmann distribution cdf.svg|[[Maxwell-Boltzmannin jakauma|Maxwell-Boltzmannin jakaumia]] eri parametreillä
Generalized normal cdfs.svg|[[Normaalijakauma|Normaalijakaumia]] kuudella parametriparilla
Cumulative distribution function of Pareto distribution.svg|[[Pareto-jakauma|Pareto-jakamia]] eriparametreillä
Rayleigh distributionCDF.png|[[Rayleigh-jakauma|Rayleigh-jakaumia]] eri parametreillä
Uniform cdf.svg|[[Tasajakauma|Tasainen jakauma]]
</gallery>
== Ominaisuuksia ==
=== Funktiona ===
Kertymäfunktio on [[Funktio|kuvaus]] [[määrittelyjoukko|määrittelyjoukosta]], joka on satunnaismuuttujan [[Perusjoukko (todennäköisyys)|perusjoukko]], [[arvojoukko|arvojoukolle]], joka on [[suljettu väli]],
:<math>F(x): \mathbb{R} \rightarrow [0,1].</math> <ref name=melin/>
Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio on jatkuva funktio. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on oikealta jatkuva porrasfunktio.<ref name=hr/> Jatkuvuudesta seuraa ominaisuus
:<math>P(X<a)=\lim_{x \to a} F(x)=\lim_{x \to a} P(X < x) = P(X \le a) = F(a).</math>
Tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa havainnollisemmin
:<math>P(X \le a)=P(X<a \mbox{ tai } X=a)=P(X < a) + P(X=a)=P(X<a).</math> <ref name=ala3t/>
Jatkuvan satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys eli arvo yksittäisessä pisteessä on siten nolla eli
:<math>P(X=a)=0.</math>
Koska kertymäfunktion arvot ovat tapahtumien todennäköisyyksiä, saa se vain arvoja väliltä
:<math>0 \le F(x) \le 1.</math> <ref name=kivela_j3/><ref name=melin/>
Kertymäfunktio on lisäksi [[monotoninen funktio]], joka on ei-vähenevä eli
:<math>F(x_1) \le F(x_2)</math> kun on <math>x_1 < x_2</math>. <ref name=kivela_j3/><ref name=melin/>
Tämän vuoksi kertymäfunktio kasvaa lopulta täyteen arvoonsa, kun ylärajaa kasvatetaan riittävästi
:<math> \lim_{a \to +\infty} F(a) = \lim_{a \to +\infty}\int_{-\infty}^a f(x)\,dx =1. </math> <ref name=melin/>
Kertymäfunktio alkaa nollasta jostakin arvosta ''a'' lähtien. Jos satunnaismuuttuja arvoalue on äärettömän laaja, voidaan tämä ilmaista
:<math> \lim_{a \to -\infty} F(a) = \lim_{a \to -\infty}\int_{-\infty}^a f(x)\,dx =0. </math> <ref name=melin/>
=== Todennäköisyyksinä ===
Edellä esitelty määritelmä on eräs tapa ilmaista [[Tapahtuma (todennäköisyys)|tapahtuma]], jossa todennäköisyys lasketaan käyttämällä satunnaismuuttujan ylärajana <math>x</math> eli
:<math>P(X \le x)=F(x).</math>
Voidaan osoittaa, että sillä voidaan laskea kaikki sellaiset todennäköisyydet, jossa tapahtumat ovat välejä. Esimerkiksi, koska mielivaltaiselle satunnaismuuttujan arvolle <math>a</math> pätee
:<math>P(X < a)+P(a\le X)=1,</math> <ref name=ala3t/>
voidaan ''vastatapahtuman todennäköisyys'' laskea
:<math>P(a\le X)=1-P(X < a)=1-P(X\le a)=1-F(a).</math> <ref name=melin/>
Toisaalta, koska mielivaltaisille satunnaismuuttujan arvoille <math>a</math> ja <math>b</math> pätee
:<math>P(X<a)+P(a \le X \le b)=P(X\le b),</math> <ref name=ala3t/>
voidaan ''välin <math>[a,b]</math> todennäköisyys'' laskea
:<math>P(a\le X \le b)=P(X\le b)-P(X<a)=P(X\le b)-P(X\le a)=F(b)-F(a).</math> <ref name=melin/>
Jos kertymäfunktio olisi määritelty toisella tavalla, olisi siihenkin voitu johtaa kaikkien muidenkin välien todennäköisyydet.
<gallery>
DisNormal07.svg|<math>\scriptstyle P(X < x)+P(x\le X)=1,</math> kohdassa ''x''
DisNormal10.svg|<math>\scriptstyle P(a\le X)=1-F(a)</math>
DisNormal05.svg|<math>\scriptstyle P(x_1\le X \le x_2)=</math> <math>\scriptstyle F(x_2)-F(x_1)</math>
</gallery>
== Lähteitä ==
{{viitteet|viitteet=
* <ref name=kivela_j3>Kivelä, Simo K.: [https://matta.hut.fi/matta2/isom/html/jakauma3.html Kertymäfunktio], M niin kuin matematiikka, 10.8.2000</ref>
* <ref name=hr>Ruskeapää, Heikki: [http://users.utu.fi/semet/tod2/TnI.pdf Todennäköisyyslaskenta I](luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012</ref>
* <ref name=ala3t>{{Kirjaviite | Tekijä =Alatupa, Sami et al. | Nimeke =Pitkä Sigma 3 | Vuosi =2010 |Selite =(lukion pitkän matematiikan oppikirja) | Julkaisupaikka =Helsinki | Julkaisija =Otava | Sivut=154−164 |Tunniste =ISBN 978-951-31-5343-4 | Viitattu =5.6.2015}}</ref>
* <ref name=ala3>{{Kirjaviite | Tekijä =Alatupa, Sami et al. | Nimeke =Pitkä Sigma 3 | Vuosi =2010 |Selite =(lukion pitkän matematiikan oppikirja) | Julkaisupaikka =Helsinki | Julkaisija =Otava | Sivut=43−60 |Tunniste =ISBN 978-951-31-5343-4 | Viitattu =5.6.2015}}</ref>
* <ref name=ud>[http://mathworld.wolfram.com/UniformDistribution.html Mathworld: Uniform Distribution]</ref>
* <ref name=melin>Melin, Ilkka: [http://math.tkk.fi/opetus/sovtoda/luennot/TODKE100.pdf Kertymäfunktio], Todennäköisyyslaskennan kurssimateriaali, Aalto-yliopisto, 2007</ref>
}}
[[Luokka:Tilastotiede]]
[[Luokka:Todennäköisyyslaskenta]]
| |||