Ero sivun ”Cantorin joukko” versioiden välillä

'''Cantorin joukko''' on [[matematiikka|matematiikassa]] [[Saksa|saksalaisensaksa]]laisen matemaatikon [[Georg Cantor]]in vuonna [[1883]]<ref>Georg Cantor, ''On the Power of Perfect Sets of Points'' (''De la puissance des ensembles parfait de points''), Acta Mathematica 4 (1884) 381--392. Englanninkielinen käännös kirjassa ''Classics on Fractals'', ed. Gerald A. Edgar, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7</ref> esittämä merkittävä välillä [0,1] olevien [[luku]]jen konstruktio.

[[Kuva:Cantor_set_in_seven_iterationsCantor set in seven iterations.svg]]

Cantorin joukolle voidaan antaa myös dynaaminen [[Iterointi|iterointiiniterointi]]in perustuva määritelmä, joka on vastaavanlainen kuin esimerkiksi se tapa, jolla [[Mandelbrotin joukko]] yleensä määritellään.

Olkoon <math>\mathbf{}T: \mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> kuvaus, joka on määritelty niin, että

Määritellään reaaliluvun <math>\mathbf{}x</math> [[Positiivinen rata|positiivinen rata]] kuvauksen <math>\mathbf{}T</math> suhteen nyt niiden reaalilukujen joukoksi, jonka alkiot on saatu iteroimalla arvoa <math>\mathbf{}x</math> kuvauksella <math>\mathbf{}T</math> mielivaltaisen monta kertaa, eli kyseessä ovat luvut <math>\mathbf{}\{x,T(x),T(T(x)), T^{3}(x), T^{4}(x),\cdots \}</math>, missä <math>\mathbf{}T^{n}(x)</math> on lyhennysmerkintä sille, että arvoa <math>\mathbf{}x</math> on iteroitu <math>\mathbf{}n</math> kertaa, jolloin esimerkiksi <math>\mathbf{}T^{4}(x)</math> tarkoittaa arvoa <math>\mathbf{}T(T(T(T(x))))</math>. (Lisäksi tulkitaan, että <math>\mathbf{}T^{0}(x)=x</math> ja <math>\mathbf{}T^{1}(x)=T(x)</math>.) Esimerkiksi lähtemällä arvosta <math>\mathbf{}x=58/81</math> iteroinnin ensimmäiset kuusi lukua ovat <math>\mathbf{}58/81, T(58/81)=69/81,T(T(58/81))=T(69/81)=36/81,</math> <math>\mathbf{}T(T(T(58/81)))=T(36/81)=108/81, T^{4}(58/81)=T(108/81)=-1</math> ja <math>\mathbf{}T^{5}(58/81)=T(-1)=-3</math>.

Voidaan osoittaa, että Mandelbrotin joukon määritelmää vastaavalla tavalla Cantorin joukko koostuu tarkalleen niistä reaaliluvuista <math>\mathbf{}x</math>, joiden kuvauksen <math>\mathbf{}T</math> suhteen otettu positiivinen rata on [[Rajoitettu joukko|rajoitettu]], eli on olemassa sellainen luku <math>\mathbf{}K>0</math> (Luku <math>\mathbf{}K</math> saa riippua iteroinnin aloittavasta reaaliluvusta <math>\mathbf{}x</math>.), että reaalilukua <math>\mathbf{}x</math> iteroimalla saatava positiivinen rata on kokonaan rajoitetun välin <math>\mathbf{}[-K,K]</math> sisällä. Lisäksi on helppo nähdä, että tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että reaaliluvun <math>\mathbf{}x</math> positiivinen rata sisältyy kokonaisuudessaan yksikköväliin <math>\mathbf{}[0,1]</math>. Tämä seuraa siitä, että jos jossain iteroinnin kohdassa <math>\mathbf{}n</math> on voimassa <math>\mathbf{}T^{n}(x)=y<0</math>, selvästi <math>\mathbf{}T^{n+k}(x)=3^{k}y</math>, joka lähestyy raja-arvoa <math>\mathbf{}-\infin </math>, kun <math>\mathbf{}k</math> kasvaa eli iterointi etenee pidemmälle. Yksikkövälin <math>\mathbf{}[0,1]</math> oikeaa puolta koskeva väite seuraa tästä nyt helposti, sillä jos iteroinnin jossain kohdassa <math>\mathbf{}n</math> on voimassa <math>\mathbf{}T^{n}(x)=y>1</math>, selvästi <math>\mathbf{}T^{n+1}(x)=3(1-y)<0</math>, jolloin jatko voidaan päätellä aiemman <math>\mathbf{}(y<0)</math>-tilanteen perusteella. Erityisesti ylläolevanyllä olevan esimerkin piste <math>\mathbf{}x=58/81</math> ei kuulu Cantorin joukkoon, sillä esimerkissä nähtiin, että <math>\mathbf{}T^{3}(58/81)=108/81>1</math>, eli pisteen <math>\mathbf{}x=58/81</math> iterointi kuvauksen <math>\mathbf{}T</math> suhteen menee yksikkövälin <math>\mathbf{}[0,1]</math> ulkopuolelle.