Ero sivun ”Propositiologiikka” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
KLS (keskustelu | muokkaukset) |
p typo |
||
Rivi 9:
== Propositiologiikan syntaksi ==
Propositiologiikassa [[atomilause]]ita merkitään propositiosymboleilla <math>p_0, p_1, p_2,\ldots\,\!</math>. Lausemuuttujina käytetään suuria kirjaimia <math>A,B,C,\ldots\,\!</math>. Lausemuuttujat kuvaavat mielivaltaisia tai toistaiseksi määrittelemättömiä lauseita.▼
▲<math>p_0, p_1, p_2,\ldots\,\!</math>. Lausemuuttujina käytetään suuria kirjaimia <math>A,B,C,\ldots\,\!</math>. Lausemuuttujat kuvaavat mielivaltaisia tai toistaiseksi määrittelemättömiä lauseita.
Propositiosymboleja voidaan määritellä seuraavaan tapaan:
Rivi 20 ⟶ 18:
Propositiosymboleista voidaan rakentaa monimutkaisempia ilmaisuja loogisten operaattoreiden eli ''konnektiivien'' avulla. Joskus osa konnektiiveista voidaan korvata määrittelemällä ne muutaman valitun konnektiivin avulla. Yleensä konnektiiveja esitellään seuraavat viisi, mutta on olemassa myös pari muuta konnektiivia: [[Shefferin viiva]] ja [[Peircen nuoli]].
{|
! Merkitys
! Merkintä
! Lukutapa
|-
| [[negaatio]]
| <math>\neg{}A</math>
| "ei A" ({{k-en|not A}})
|-
| [[konjunktio (logiikka)|konjunktio]]
| <math>(A\wedge{}B)</math>
| "A ja B" ({{k-en|A and B}})
|-
| [[disjunktio]]
| <math>(A\vee{}B)</math>
| "A tai B" ({{k-en|A or B}})
|-
| [[implikaatio]]
| <math>(A\to{}B)</math>
| "jos A niin B"
|-
| ekvivalenssi
| <math>(A\leftrightarrow{}B)</math>
Rivi 86 ⟶ 84:
'''Määritelmä 3'''
Totuusjakauma <math>v\,\!</math> on [[funktio|kuvaus]]
<math>v:\mathbb{N}\to\{0,1\}\,\!</math>, jossa
<math>1=_{df}\,\!</math>"tosi" ja
<math>0=_{df}\,\!</math>"epätosi".
Rivi 95 ⟶ 93:
Symboli <math>v\,\!</math> esiintyy määritelmässä 4 kahdessa merkityksessä: totuusjakauman symbolina yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella ja propositiolauseen totuusarvon määrittäjänä oikealla puolella.
{|
|
|-
|
|-
|
|
|-
|
|}
Nyt <math>v(p_0)=1, v(p_1)=1, v(p_2)=0, v(p_3)=0, \ldots\,\!</math>
Rivi 110 ⟶ 108:
'''Määritelmä 6''' Konnektiivien totuusarvotaulukot
{|
| <math>A\,\!</math>
| <math>B\,\!</math>
Rivi 119 ⟶ 117:
| <math>(A\to{}B)\,\!</math>
| <math>(A\leftrightarrow{}B)\,\!</math>
|-
| 1
| 1
Rivi 128 ⟶ 126:
| 1
| 1
|-
| 1
| 0
Rivi 137 ⟶ 135:
| 0
| 0
|-
| 0
| 1
Rivi 146 ⟶ 144:
| 1
| 0
|-
| 0
| 0
Rivi 157 ⟶ 155:
|}
'''Negaatio''' vastaa luonnollisen kielen sanaa ''ei''. Se määrittää lauseen vastakohdan. Lauseen A negaatio ''ei A'' on tosi
'''Konjunktio''' vastaa luonnollisen kielen sanaa ''ja''. Lauseiden A ja B konjunktio ''A ja B'' on tosi vain, jos molemmat sen yhdistämät ilmaisut eli lauseet A ja B ovat tosia.
Rivi 164 ⟶ 162:
'<math>((A \vee B) \wedge \neg(A \wedge B))\,\!</math>'.
'''Implikaatiolla''' ilmaistaan totuuden ''riittävää'' tai ''välttämätöntä'' edellytystä. Lauseen
'<math>(A \to B)\,\!</math>' (luetaan: ''jos A niin B'') mukaan <math>A\,\!</math> on <math>B\,\!</math>:n [[riittävä ehto|riittävä edellytys]] ja <math>B\,\!</math> <math>A\,\!</math>:n [[välttämätön ehto|välttämätön edellytys]].
Rivi 179 ⟶ 177:
'''Esimerkki 8''' Propositiolauseen totuusarvo totuustaululla
{|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|}
Rivi 241 ⟶ 239:
[[Elektroniikka|Elektroniikassa]] tärkeimpiä loogisia konnektiiveja vastaavat tietyt [[looginen portti|loogiset portit]] seuraavasti:
{|
! Konnektiivi
! Yhdistetty lause
! Looginen portti
|-
| negaatio
| "ei A"
| [[NOT-portti]]
|-
| [[konjunktio (logiikka)|konjunktio]]
| "A ja B"
| [[AND-portti]]
|-
| [[disjunktio]]
| "A tai B"
| [[OR-portti]]
|-
| [[Shefferin viiva]]
| "ei A tai ei B"
| [[NAND-portti]]
|-
| [[Peircen nuoli]]
| "ei A eikä B"
| [[NOR-portti]]
|}
| |||