Ero sivun ”Disjunktio” versioiden välillä

5 merkkiä poistettu ,  5 vuotta sitten
p
typoja ja kummia kappalejakoja
(viilausta)
p (typoja ja kummia kappalejakoja)
'''Disjunktio''' on [[propositiologiikka|propositiologiikassa]] kaksipaikkainen [[looginen konnektiivi]], joka vastaa yleiskielen sanaa ''tai''. Sillä muodostettu yhdistetty lause on tosi, jos ainakin yksi sen yhdistämistä lauseista on tosi, muussa tapauksessa epätosi.<ref name=Standord>{{verkkoviite | Osoite = http://plato.stanford.edu/entries/disjunction/ | Nimeke = Disjunction | Julkaisija = Stanford Enclycopedia of Philosophy | Viitattu = 9.4.2015}}</ref> Lauseiden ''A'' ja ''B'' disjunktiolle käytetään merkintää <math>A \or B</math>.
 
Näin määritellystä disjunktiosta käytetään myös nimitystä ''inklusiivinen tai'' eli ''inklusiivinen disjunktio'' erotukseksi [[ekslusiivineneksklusiivinen disjunktio|ekslusiivisestaeksklusiivisesta disjunktiosta]] ("joko A tai B, mutta ei molemmat"), joka on tosi vain silloin, jos vain toinen sen yhdistämistä lauseista on tosi.<ref name=Ensyklopedia>{{kirjaviite | Nimeke = Otavan suuri ensyklopedia, 5. osa (Kriminologia–Makuaisti) | Sivu = 3800 | Kirjoittaja = Ilkka Niiniluoto | Luku = Logiikka (Lauselogiikka, Konnektiivit) | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1978 | Tunniste = ISBN 951-1-04827-9}}</ref> Koska sanaa ''tai'' käytetään tavallisessa kielessä eri yhteyksissä kummassakin merkityksessä, inklusiivista disjunktiota tarkoitettaessa käytetään mahdollisen väärin­käsityksen välttämiseksi nykyisin joskus ilmaisua ''[[ja/tai]]''.
 
Disjunktioon läheisesti liittyviä käsitteitä muissa yhteyksissä ovat:
== Merkinnät ==
 
Loogiselle disjunktiolle käytetään kirjallisuudessa useita eri symboleja. Sanan "tai" ({{k-en|or}}) ohella sille käytetään yleisesti symbolia "<math>\or</math>",<ref name=Hazewinkel>{{kirjaviite | Nimeke = Encyclopedia of Mathematics | Kirjoittaja = Michiel Hazewinkel | Luku = Disjunction | Julkaisija = Springer, The European Mathematical Society | Vuosi = 2001 | Tunniste = ISBN 978-1-55608-010-4 | www = http://plato.stanford.edu/entries/disjunction/}}</ref> joka on muodostettu [[latina]]n sanan ''vel'' ("tai") alkukirjaimesta.<ref name=Standord /> Esi­merkiksi "''A'' <math>\or</math> ''B''&nbsp;" luetaan "''A'' tai ''B''". Tällainen disjunktio on epä­tosi vain jos sekä ''A'' että ''B'' ovat epä­tosia lauseita, muussa tapauksessa se on tosi.
Loogiselle disjunktiolle käytetään kirjallisuudessa useita eri symboleja. Sanan "tai" ({{k-en|or}})
ohella sille käytetään yleisesti symbolia "<math>\or</math>",<ref name=Hazewinkel>{{kirjaviite | Nimeke = Encyclopedia of Mathematics | Kirjoittaja = Michiel Hazewinkel | Luku = Disjunction | Julkaisija = Springer, The European Mathematical Society | Vuosi = 2001 | Tunniste = ISBN 978-1-55608-010-4 | www = http://plato.stanford.edu/entries/disjunction/}}</ref> joka on muodostettu [[latina]]n sanan ''vel'' ("tai") alkukirjaimesta.<ref name=Standord /> Esi­merkiksi "''A'' <math>\or</math> ''B''&nbsp;" luetaan "''A'' tai ''B''". Tällainen disjunktio on epä­tosi vain jos sekä ''A'' että ''B'' ovat epä­tosia lauseita, muussa tapauksessa se on tosi.
 
Kaikki seuraavat ovat disjunktiota:
: <math>A \or \neg B \or \neg C \or D \or \neg E.</math>
 
[[Boolen algebra]]ssa disjunktiolle käytetään merkintää <math>A + B</math>. [[Jan Lukasiewicz]]in [[puolalainen notaatio|prefiksinotaatiossa]] disjunktion merkkinä käytetään A-kirjainta, joka on lyhenne [[puolan kieli|puolan kielen]] sanasta ''alternatywa''. Tällöin lauseiden ''p'' ja ''q'' disjunktio merkitään A''pq''.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Jósef Maria Bocheński | Nimeke = A Précis of Mathematical Logic | Selite = Otto Bird kääntänyt englanniksi ranskalaiistaranskalaisista ja saksalaisista laitoksista | Julkaisija = D. Reidel | Julkaisupaikka = Dordrecht | Vuosi = 1959}}</ref>
 
Eri [[ohjelmointikieli]]ssä disjunktiota vastaava operaattori merkitään tavallisimmin joko sanalla <code>or</code> tai kahdella pystyviivalla (<code>||</code>).
merkitään tavallisimmin joko sanalla <code>or</code> tai kahdella pystyviivalla (<code>||</code>).
 
== Totuustaulu ==
==Ominaisuudet==
 
Looginen disjunktio noudattaa lasku­lakeja, jotka pitkälti ovat analogisia esi­merkiksi [[reaaliluku]]jen lasku­säännöille. Se on [[vaihdannaisuus|vaihdannainen]] ja [[liitännäisyys|liitännäinen]], ja sille pätee myös [[osittelulaki]], kun toisena lasku­toimituksena on looginen [[konjunktio (logiikka)|konjunktio]]. Disjunktio on lisäksi [[idempotenssi|idem­potentti]] eli minkä tahansa lauseen disjunktiolla itsensä kanssa on sama totuus­arvo kuin alku­peräisellä lauseella. Tätä havainnollistavat seuraavat kaaviot:
 
* '''Vaihdannaisuus'''
! bgcolor="#ccccff"|muita
|-
|
liitännäisyys loogisen [[ekvivalenssi]]n suhteen:
{| style="text-align: center; border: 1px solid darkgray;"
 
[[Kuva:Or-gate-en.svg|thumb|right|150px|[[OR-portti]]]]
Useimmissa [[ohjelmointikieli]]ssä on disjunktiota vastaava operaattori. Se merkitään monissa ohjelmointikielissä [[varattu sana|varatulla sanalla]] <code>or</code>, mutta esimerkiksi [[C (ohjelmointikieli)|C:ssä]] ja siihen pohjautuvissa ohjelmointikielissä kahdella pystyviivalla (<code>||</code>).
ohjelmointikielissä [[varattu sana|varatulla sanalla]] <code>or</code>, mutta esimerkiksi [[C (ohjelmointikieli)|C:ssä]] ja siihen pohjautuvissa ohjelmointikielissä kahdella pystyviivalla (<code>||</code>).
 
Looginen disjunktio suoritetaan yleensä minimaalisella evaluaatiolla. Tämä merkitsee, että jos sen ensimmäinen (vasemmanpuoleinen) operandi on arvoltaan ''tosi'', ohjelma ei edes tarkista, mikä sen jälkimmäisen operandin arvo on.
ensimmäinen (vasemmanpuoleinen) operandi on arvoltaan ''tosi'', ohjelma ei edes tarkista, mikä sen
jälkimmäisen operandin arvo on.
 
Useimmissa ohjelmointi­kielissä looginen disjunktio antaa tulokseksi aina [[boolean]]-tyyppisen muuttujan, jolla on vain kaksi mahdollista arvoa: tosi (1) tai epätosi (0). Monissa [[Vahva tyypitys|vahvasti tyypitetyissä]] kielissä disjunktio voidaan sitä paitsi suorittaa vain, jos molemmat sillä yhdistetävätyhdistettävät operanditkin ovat boolean-tyyppisiä. Joissakin heikosti tyypitetyissä kielissä, esimerkiksi [[C (ohjelmointikieli)|C:ssä]], disjunktio voidaan kuitenkin suorittaa silloinkin, kun operandit ovat esimerkiksi kokonais- tai reaaliluku­tyyppisiä; tällöin tuloksena on 0 (epätosi) vain, jos molemmat operandit ovat nollia, mulloin tuloksena on 1 (tosi). Tällöin siis operandien kaikkien muiden arvon kuin nollan katsotaan vastaavan totuus­arvoa tosi.
 
Muutamissa ohjelmointikielissä kuten [[Python]]issa ja [[JavaScript]]issä disjunktio-operaattori voi kuitenkin palauttaa muitakin arvoja kuin 1 tai 0. Tällöin se saa arvokseen operaattorin ensimmäisen operandin arvon, jos se on "tosi" eli ei ole nolla, muussa tapauksessa jälkimmäisen operandin arvon.
kuitenkin palauttaa muitakin arvoja kuin 1 tai 0. Tällöin se saa arvokseen operaattorin ensimmäisen operandin arvon, jos se on "tosi" eli ei ole nolla, muussa tapauksessa jälkimmäisen operandin arvon.
 
Disjunktiota vastaava [[looginen portti]] on [[OR-portti]].
=== Biteittäinen operaatio ===
 
Joissakin ohjelmointikielissä on määritelty myös ''biteittäinen disjunktio'''. Tällöin operandit, jotka voivat olla esimerkiksi [[binääriluku|binäärisiä]] [[kokonaisluku]]ja, käydään läpi bitti bitiltä ja suoritetaan disjunktio-operaatiot kummankin operandin vastaavien bittien välillä. Tuloksena saadaan muuttuja, jossa kunkin bitin arvo riippuu operandien bittien arvoista seuraavasti:
jotka voivat olla esimerkiksi [[binääriluku|binäärisiä]] [[kokonaisluku]]ja, käydään läpi bitti bitiltä
ja suoritetaan disjunktio-operaatiot kummankin operandin vastaavien bittien välillä. Tuloksena saadaan
muuttuja, jossa kunkin bitin arvo riippuu operandien bittien arvoista seuraavasti:
 
* 0 <code>or</code> 0 = 0
Biteittäinen disjunktio on käytettävissä muun muassa [[C (ohjelmointikieli)|C-kielessä]], jossa se merkitään yhdellä pystyviivalla (<code>|</code>).
 
Biteittäisellä disjunktiolla voidaan muun muassa asettaa halutulle bitille arvo 1 muiden bittien pysyessä ennallaan. Esimerkiksi lauseella <code>x = x | 0b00000001</code> saadaan muuttujan x viimeinen bitti ykköseksi.
pysyessä ennallaan. Esimerkiksi lauseella <code>x = x | 0b00000001</code> saadaan muuttujan x viimeinen
bitti ykköseksi.
 
==Unioni==
 
Disjunktiota vastaava operaatio [[joukko-oppi|joukko-opissa]] on [[unioni]]. Kahden joukon unioni määritelläänkin disjunktion avulla: <math> a \in A \cup B</math>, jos ja vain jos <math> a \in A \or a \in B</math>. Toisin sanoen alkio ''a'' kuuluu joukkojen ''A'' ja ''B'' unioniin, jos ja vain jos se kuuluu näistä joukoista ainakin toiseen. Tämän vuoksi joukko-opillinen unioni noudattaa pitkälti samoja sääntöjä kuin disjunktiokin: sillekin pätevät vaihdanta-, liitäntä-, osittelu- ja [[de Morganin lait]].
Disjunktiota vastaava operaatio [[joukko-oppi|joukko-opissa]] on [[unioni]]. Kahden joukon unioni
määritelläänkin disjunktion avulla: <math> a \in A \cup B</math>, jos ja vain jos <math> a \in A \or a \in B</math>. Toisin sanoen alkio ''a'' kuuluu joukkojen ''A'' ja ''B'' unioniin, jos ja vain jos se kuuluu näistä joukoista ainakin toiseen. Tämän vuoksi joukko-opillinen unioni noudattaa pitkälti samoja sääntöjä kuin disjunktiokin: sillekin pätevät vaihdanta-, liitäntä-, osittelu- ja [[de Morganin lait]].
 
== Luonnolliset kielet ==
 
[[Matemaattinen logiikka|Matemaattisessa logiikassa]] määritellyt käsitteet ovat merkitykseltään täsmällisempiä kuin luonnollisen kielen sanat yleensä ovat. Suomen kielessä disjunktiota vastaa lähinnä sana ''tai'', jota käytetään kuitenkin ainakin kahdessa toisistaan poikkeavassa merkityksessä, kuten sen vastineita useissa muissakin kielissä. Jos joku esimerkiksi pyytää: "Soita minulle tai lähetä sähköpostia", tällöin tarkoitetaan toden­näköisesti: "tee toinen, mutta älä molempia." Jos taas josta­kusta sanotaan: "Kun hän sai niin korkea arvo­sanat, hän selvästikin on hyvin lahjakas tai opiskelee ahkerasti"; tällöin ei suljeta pois sitä mahdollista, että molemmat vaihto­ehdot ovat tosia. Toisin sanoen sana "tai" voi tarkoittaa sekä inklu­siivista että eksklu­siivista disjunktiota.<ref name=Ensyklopedia /> Silloin kun kyseessä on inklu­siivinen disjunktio, käytetään nykyisin toisinaan asian selventämiseksi ilmaisua "[[ja/tai]]".
sana ''tai'', jota käytetään kuitenkin ainakin kahdessa toisistaan poikkeavassa merkityksessä, kuten sen vastineita useissa muissakin kielissä. Jos joku esimerkiksi pyytää: "Soita minulle tai lähetä sähköposia", tällöin tarkoitetaan toden­näköisesti: "tee toinen, mutta älä molempia." Jos taas josta­kusta sanotaan: "Kun hän sai niin korkea arvo­sanat, hän selvästkin on hyvin lahjakas tai opiskelee ahkerasti"; tällöin ei suljeta pois sitä mahdollista, että molemmat vaihto­ehdot ovat tosia. Toisin sanoen sana "tai" voi tarkoittaa sekä inklu­siivista että ekslu­siivista disjunktiota.<ref name=Ensyklopedia /> Silloin kun kyseessä on inklu­siivinen disjunktio, käytetään nykyisin toisinaan asian selventämiseksi ilmaisua "[[ja/tai]]".
 
 
{{käännös|:en:Logical disjunction}}
 
== Lähteet ==
 
{{viitteet}}
 
15 263

muokkausta