Versio 9. huhtikuuta 2015 kello 23.05 muokkaa 82.130.49.137 (keskustelu) Olen selkeyttänyt artikkelin rakennetta ja lisännyt tarkentavia tietoja eri hajontaluvuista. Merkkaus: Visuaalinen muokkaus ← Vanhempi muutos		Versio 10. huhtikuuta 2015 kello 13.00 muokkaa kumoa 86.50.146.112 (keskustelu) Artikkelin laajentaminen Merkkaus: Visuaalinen muokkaus Uudempi muutos →
Rivi 1: [[Kuva:standard deviation diagram.svg\|thumb\|350px\|Keskihajonta [[normaalijakauma]]n tapauksessa: yhden keskihajonnan etäisyys keskiarvosta rajaa todennäköisyysmassasta 68,27 %, kahden keskihajonnan etäisyys rajaa 95,45 % ja kolmen keskihajonnan etäisyys rajaa 99,73 %.]] '''Hajontaluku''' on [[Tilastotiede\|tilastotieteessä]] [[Todennäköisyysjakauma\|todennäköisyysjakauman]] vaihtelun eli hajonnan [[mitta]]. Yleisimpiä hajontalukuja ovat [[keskihajonta]], [[varianssi]], [[otoskeskihajonta]], [[otosvarianssi]], [[kvantiili]] ja [[variaatiokerroin]]. Hajontaluvut ovat [[Keskiluku\|keskilukujen]] ohella keskeisimpiä [[Jakauma\|jakaumiin]] liittyviä käsitteitä. == Hajonnan mittaaminen == Hajontaluku on [[reaaliluku]], joka saa sitä suuremman arvon mitä enemmän vaihtelua jakauman [[Satunnaismuuttuja\|satunnaismuuttujien]] arvoissa esiintyy. Yleensä tämä lasketaan mittaamalla havaittujen arvojen etäisyyttä havaintoarvojen [[Odotusarvo\|odotus]]- tai [[Keskiarvo\|keskiarvosta]]. Käytettävän hajontaluvun valinta riippuu käyttötarkoituksesta; eri hajontaluvut sopivat eri tilanteisiin riippuen, pyritäänkö tarkastelemaan jakauman absoluuttista vaiko suhteellista hajontaa. Jos otannassa ei ole vaihtelua, ~~tätä kuvaava~~ hajontaluku saa arvon nolla. Usein hajontaa kuvattaessa käytetään mittauksen kohteen kanssa samaa [[Mittayksikkö\|yksikköä]]. Jos mittauksen kohteen yksikkö on esimerkiksi kilogramma, myös hajonnan yksikkönä käytetään kilogrammaa. Tällöin hajontalukua voi käyttää hajonnan absoluuttisten arvojen tarkasteluun. Tällaisia hajonnan mittoja ovat: ~~==Hajontaluvut==~~ * [[Keskihajonta]] * Vaihteluväli * [[Kvantiili]] * [[Kvartiiliväli]] * [[Mediaanin keskipoikkeama]] (MAD) Yksiköttömät hajontaluvut kuvaavat suhteellista hajontaa satunnaismuuttujan odotusarvoon nähden. Usein nämä voidaan ilmaista prosentteina. Tällöin on mahdollista vertailla myös eri yksiköissä ilmaistujen jakaumien hajontoja. Yksiköttömiä hajontalukuja ovat: * [[Variaatiokerroin]] * [[Hajonnan kvartiilikerroin]] Muissa mittayksiköissä ilmaistuja hajontalukuja ovat: * [[Varianssi]] * [[Otosvarianssi]] * [[Gini-kerroin]] == Yleisimmät hajontaluvut == === Varianssi === ~~Varianssi on [[Todennäköisyyslaskenta\|todennäköisyyslaskennassa]] ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan hajonnan mitta.~~ Varianssi kuvaa ~~sitä~~, kuinka kaukana satunnaismuuttujan arvot ovat tyypillisesti sen odotusarvosta. Reaaliarvoisen satunnaismuuttujan varianssi on sen toinen keskimomentti. Varianssin [[Neliöjuuri\|neliöjuurta]] sanotaan keskihajonnaksi. Diskreetin jakauman varianssi lasketaan kaavalla <math>Var(X)=\sigma^{2}_x = \operatorname{E}[ ( x - \mu_x ) ^ 2 ]</math>, jossa x on [[satunnaismuuttuja]] ja ''μ'' on sen [[odotusarvo]]. ~~Jakauman~~Jatkuvan jakauman varianssi lasketaan kaavalla <math>Var(X)=\sigma^{2}_x = \~~operatorname~~int\limits_{E-\infin}^{+\infin}[ ( X x- \mu mu_x) ^ 2 ]f(x)dx </math>~~, jossa ''X'' on [[satunnaismuuttuja]] ja ''μ'' on sen [[odotusarvo]]~~. Diskreetillä jakaumalla on varianssi, jos <math>\sum\limits_{x_i \in \tau}(x_i - \mu_x)^2 p_i < \infin</math>. Jatkuvalla jakaumalla on varianssi, jos <math>\int\limits_{-\infin}^{+\infin} (x-\mu_x)^2 f(x)dx < \infin</math>. === Keskihajonta === ~~Keskihajonta~~Satunnaismuuttujan standardipoikkeama eli ~~standardipoikkeama~~keskihajontakuvaa keskimääräistä poikkeamaa odotusarvosta. Keskihajonta on varianssin neliöjuuri: <math>D(X)=\sigma_x = \sqrt{\sigma^{2}_x},</math>. Etuna varianssiin nähden on tulkinnan helppous, sillä keskihajonnan asteikko vastaa mittausten asteikkoa. Otosvarianssi ~~Äärellisen joukon <math>x_1,x_2,\ldots,x_n</math> keskihajonta on~~ <math>\sigma = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1} ^{n} (x_{i} - \overline{x})^2}{n}}</math>, missä <math>\bar{x} = \frac1n\sum\limits_{i=1}^n x_i = \frac{(x_1+\cdots+x_n)}{n}</math> on kyseisen joukon keskiarvo. Keskihajonta on siis varianssin neliöjuuri. Keskihajonta kuvaa keskimääräistä poikkeamaa odotusarvosta. Etuna varianssiin nähden on tulkinnan helppous, sillä keskihajonnan asteikko vastaa mittausten asteikkoa. === Otoskeskihajonta === Rivi 34 ⟶ 48: === Kvantiili === Satunnaismuuttujan x β-kvantiili kβ , 0 < β < 1, on luku joka toteuttaa ehdot <math> P(x <k_β)≤ β</math> Kvantiilit ovat satunnaismuuttujan kertymäfunktiolta säännöllisin välein poimittuja prosenttipisteitä. Jakamalla järjestetty aineisto ''q'' kappaleeseen yhtä suuria joukkoja saadaan ''q''-kvantiili. Kvantiilit ovat aineiston arvoja luokkien rajalla. Näin ollen ''k'':nnes kvantiili on sellainen arvo ''x'', että todennäköisyys saada pienempi arvo kuin ''x'' on noin ''k/q''. Empiirisessä työssä kvantiilit lasketaan aineiston kertymäfunktiosta.▼ ▲~~Kvantiilit~~Kvartiilit ovat satunnaismuuttujan kertymäfunktiolta säännöllisin välein poimittuja prosenttipisteitä. Jakamalla järjestetty aineisto ''q'' kappaleeseen yhtä suuria joukkoja saadaan ''q''-kvantiili. Kvantiilit ovat aineiston arvoja luokkien rajalla. Näin ollen ''k'':nnes kvantiili on sellainen arvo ''x'', että todennäköisyys saada pienempi arvo kuin ''x'' on noin ''k/q''. Empiirisessä työssä kvantiilit lasketaan aineiston kertymäfunktiosta. === Variaatiokerroin === Variaatiokerroin on ~~hajontaa kuvaava suhdeluku eli~~ hajontaluku, joka ei ole mittayksikköön sidottu. Variaatiokertoimen avulla ~~voi~~on mahdollista vertailla kahden eri mitta-asteikolla mitatun jakauman hajontoja. Variaatiokerroin <math>v </math> on määritelty keskihajonnan <math>s </math> ja keskiarvon <math>\bar{x} </math> osamääränä. <math>v = s/\bar{x}100%</math> == Katso myös == [[Jakauma]] [[Todennäköisyysjakauma]] [[Normaalijakauma]] [[Keskiluku]] [[Varianssi]] [[Keskihajonta]] [[Otosvarianssi]] [[Otoskeskihajonta]] [[Kvantiili]] [[Variaatiokerroin]] == Aiheesta muualla == Rivi 47 ⟶ 74: [http://www.techbookreport.com/tutorials/stddev-30-secs.html Hajontaluvun selitys ilman matematiikkaa] {{en}} {{Metatieto}} == Lähteet == * Lauri Nummenmaa: ''Käyttäytymistieteiden Tilastolliset Menetelmät''. Tammi, 2004. ISBN 951-26-5203-X {{Tynkä/Matematiikka}}

Ero sivun ”Hajontaluku” versioiden välillä