Ero sivun ”Kompleksiluku” versioiden välillä

228 merkkiä lisätty ,  5 vuotta sitten
→‎Geometrinen tulkinta: lähteitä lisätty.
(→‎Laskutoimitukset: lisätty lähteitä)
(→‎Geometrinen tulkinta: lähteitä lisätty.)
[[Image:Imaginarynumber2.svg|thumb|left|265px|Kompleksiluku ''z'' piirrettynä kompleksitasolle]]
[[Image:Euler's formula.svg|thumb|right|265px|Kompleksiluku ''z'' piirrettynä kompleksitasolle käyttäen [[Eulerin kaava]]a]]
Koska kompleksiluku on järjestetty reaalilukupari, se voidaan esittää kaksiulotteisen [[koordinaatisto]]n pisteenä<ref name="s.7-8"> Saff ja Snider, s.7-8</ref> tai [[vektori|paikkavektorina]]<ref name="s.14"> Saff ja Snider, s.14</ref>. Kompleksilukua <math>\scriptstyle x+yi</math> kuvaa [[taso]]n piste <math>\scriptstyle P(x,y)</math> ja paikkavektori OP. Koordinaatiston toinen akseli ilmaisee kompleksiluvun reaalikomponentin ja toinen imaginaarikomponentin. Kompleksilukujen ja vektorien yhteenlaskut vastaavat toisiaan. Tasoa, jonka pisteet on määritelty vastaamaan kompleksilukuja, sanotaan ''kompleksitasoksi''.
 
Kompleksiluku voidaan esittää [[napakoordinaatisto]]n avulla muodossa <math>\scriptstyle z = r(\cos \theta + i \sin \theta)</math>, jossa <math>\scriptstyle r</math> on kompleksiluvun itseisarvo <math>\scriptstyle |z|</math>, ja <math>\scriptstyle \theta</math> on <math>\scriptstyle z</math>:n ''argumentti'', eli positiivisen reaaliakselin ja vektorin OP välinen suunnattu kulma.<ref name="s.16-17"> Saff ja Snider, s.16-17</ref> Napakoordinaattimuodossa kompleksilukujen kerto- ja jakolaskut saadaan havainnolliseen muotoon:
 
:<math>z_1 \cdot z_2 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) \cdot r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) = r_1 r_2(\cos (\theta_1 + \theta_2) + i\sin (\theta_1 + \theta_2))\,</math><ref name="s.20"> Saff ja Snider, s.20</ref>
 
:<math>{z_1 \over z_2} = {r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) \over r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)} = {r_1 \over r_2}(\cos (\theta_1 - \theta_2) + i\sin (\theta_1 - \theta_2))\,</math><ref name="s.20"> Saff ja Snider, s.20</ref>
 
Kompleksilukujen kertolasku voidaan siis jakaa kahteen vaiheeseen: itseisarvojen kertomiseen keskenään, eli paikkavektorin pituuden muutokseen, ja argumenttien yhteenlaskuun, eli vektorin kiertoon. Jakolaskun suhteen voidaan menetellä vastaavalla tavalla sillä erotuksella, että itseisarvojen kertolaskua vastaa jakolasku ja argumenttien yhteenlaskua vähennyslasku.
3 883

muokkausta