Avaa päävalikko

Muutokset

119 merkkiä poistettu ,  5 vuotta sitten
viitteet kiinnitetty tekstiin
[[Tiedosto:Great Mosque of Kairouan, west portico of the courtyard.jpg|right|thumb|upright=0.8|Symmetrisiä arkadeja [[Kairouan]]in suuressa moskeijassa [[Tunisia]]ssa]]
 
'''Symmetria''' merkitsee tasasuhtaisuutta, kokonaisuuden eri osien välistä yhden­mukaisuutta.<ref name=Aikio>{{kirjaviite | Tekijä = Annukka Aikio | Nimeke = Uusi sivistyssanakirja | Sivu = 586 | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1975 | Tunniste = ISBN 951-1-00944-3}}</ref>
Laajemmassa merkityksessä symmetria voi tarkoittaa sopu­suhtaista ja kaunista suhdetta ja tasapainoa.<ref>{{kirjaviite|Tekijä = Roger Penrose|Nimeke = Fearful Symmetry|Julkaisija = Princeton|Vuosi = 2007 | Tunniste = ISBN 978-0-691-13482-6}}</ref><ref name="classical001">Esimerkiksi [[Aristoteles]] väitti taivaankappaleiden olevan pallon muotoisia, koska pallo mahdollisimman symmetrisenä muotona oli ainoa sopiva muoto täydellisessä kosmoksessa</ref> Täsmällisemmässä matemaattisessa merkityksessä symmetrialla tarkoitetaan jonkin kokonaisuuden eri osien yhtäläisyyttä, joka voidaan osoittaa jossakin muodollisessa järjestelmässä kuten [[geometria]]ssa tai [[fysiikka|fysiikassa]].
<ref name=Aikio>{{kirjaviite | Tekijä = Annukka Aikio | Nimeke = Uusi sivistyssanakirja | Sivu = 586 | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1975 | Tunniste = ISBN 951-1-00944-3}}</ref>
Laajemmassa merkityksessä symmetria voi tarkoittaa sopu­suhtaista ja kaunista suhdetta ja tasapainoa.
<ref>{{kirjaviite|Tekijä = Roger Penrose|Nimeke = Fearful Symmetry|Julkaisija = Princeton|Vuosi = 2007 | Tunniste = ISBN 978-0-691-13482-6}}</ref><ref name="classical001">Esimerkiksi [[Aristoteles]] väitti taivaankappaleiden olevan pallon muotoisia, koska pallo mahdollisimman symmetrisenä muotona oli ainoa sopiva muoto täydellisessä kosmoksessa</ref> Täsmällisemmässä matemaattisessa merkityksessä symmetrialla tarkoitetaan jonkin kokonaisuuden eri osien yhtäläisyyttä, joka voidaan osoittaa jossakin muodollisessa järjestelmässä kuten [[geometria]]ssa tai [[fysiikka|fysiikassa]].
 
Sana symmetria johtuu kreikan kielen sanoista συμμετρεῖν (symmetrein), joka merkitsee [[yhteismitallisuus|yhteis­mitallisuutta]].<ref name=Aikio />
 
Vaikka nämä kaksi merkitystä voidaan erottaa toisistaan, ne liittyvät läheisesti toisiinsa, minkä vuoksi tässä artikkelissa käsitellään molempia.<ref name="classical001" /><ref>[[#Weyl 1982|Weyl 1982]]</ref>
 
<ref name="classical001" /><ref>[[#Weyl 1982|Weyl 1982]]</ref>
 
Matemaattinen symmetria voidaan havaita
* geometrisissa muunnoksissa kuten [[mittakaava]]n muutoksessa, [[peilaus|peilauksessa]] ja [[rotaatio (geometria)|rotaatiossa]];
* muunlaisissa funktio­naali­sissa muunnoksissa;<ref>esimerkiksi sellaiset toimen­piteet kuin siirtyminen säännöllisesti laatoitettua lattiaa pitkin tai kahdeksan­kulmaisen [[maljakko|maljakon]] pyörittäminen, yhtälön mutkikkaat muunnokset tai tapa, jolla musiikkia soitetaan</ref> ja
* piirteenä [[abstraktio]]käsitteissä, tieteellisessä [[mallintaminen|mallintamisessa]], [[kieli|kielessä]], [[musiikki|musiikissa]] ja [[tieto|tiedossa]] itsessäänkin.<ref name="Mainzer000">{{kirjaviite | Tekijä = Klaus Mainzer | Nimeke = Symmetry And Complexity: The Spirit and Beauty of Nonlinear Science | Julkaisija = World Scientific | Vuosi = 2005 | Tunniste = ISBN 981-256-192-7}}</ref> Symmetrinen kohde voi olla aineellinen, kuten henkilö, [[kide]], vuode­peite, lattia­laatoitus tai [[molekyyli]], tai abstrakti käsite kuten matemaattinen [[yhtälö]] tai sävel­kulku musiikissa.
 
Tämä artikkeli käsittelee symmetria­käsitteitä neljältä näkö­kannalta. Ensimmäinen on symmetria [[geometria]]ssa, joka on monille henkilöille tutuin symmetrian muoto. Toinen on symmetrian yleisempi merkitys koko [[matematiikka|matematiikassa]]. Kolmas käsittelee symmetriaa sellaisena kuin se esiintyy [[tiede|tieteessä]] ja [[teknologia]]ssa. Tässä mielessä symmetria liittyy modernin [[fysiikka|fysiikan]] syvällisimpiin tuloksiin, myös käsityksiin [[aika|ajasta]] ja [[avaruus|avaruudesta]]. Neljäs näkökohta liittyy symmetriaan [[humanistiset tieteet|humanistisilla]] aloilla ja käsittelee sen rikasta ja moni­muotoista käyttöä [[historia]]ssa, [[arkkitehtuuri]]ssa, [[taide|taiteessa]] ja [[uskonto|uskonnossa]].
Jos taas ''n'' on parillinen, tämä ei ole perustava symmetria vaan yhdistelmä.
 
Roto­refleksio­symmetrisillä kappaleilla ei yleensä ole symmetria­tasoa, mutta siitä huolimatta ne voidaan siirtää kolmiulotteisessa avaruudessa peili­kuvansa päälle. Yksin­kertaisin sellainen kappale voidaan helposti tehdä taittelemalla neliön­muotoisen paperi­palan reunoja.<!--Tähän tarvittaisiin kuva --> Tällaista symmetriaa esiintyy myös [[kiderakenne|kiderakenteissa]].<ref name=Gardner2 />
<ref name=Gardner2 />
 
===Kierteinen symmetria===
=== Symmetrian matemaattinen malli ===
 
Annetun joukon ''X'' kaikkiin alkioihin kohdistuvien kaikkien symmetria­operaatioiden joukkoa voidaan mallintaa [[ryhmäoperaatio]]lla ''g'' : ''G'' × ''X'' → ''X'', missä ''g'' on ryhmään ''G'' kuuluva operaatio, ja ''x'':n kuva ''X'':ssä merkitään ''g''·''x''.
Jos jollakin ''g'':llä pätee ''g''·''x'' = ''y'', sanotaan ''x'':n ja ''y'':n olevan symmetrisiä toisiinsa nähden.
Jokaista alkiota ''x'' kohti ne operaatiot ''g'', joille pätee ''g''·''x'' = ''x'', muodostavat [[ryhmä (algebra)|ryhmän]], alkion [[symmetriaryhmä]]n, joka on ''G'':n [[aliryhmä]].
Jos symmetriaryhmä ''x'' on triviaali ryhmä, jossa on vain [[neutraalialkio]], ''x'':n sanotaan olevan ''asymmetrinen'', muussa tapauksessa ''symmetrinen''.
 
[[Interferenssi]]llä tarkoitetaan tässä sitä, että sellaiset kohteet kuuluvat [[kvanttimekaniikka|kvantti­mekaniikan]] alaan, jossa ne muistuttavat enemmänkin inter­fe­roivia [[aalto]]ja kuin tavan­omaisia suuria kappaleita.
 
Lyhyesti, jos kohde on niin yksin­kertainenyksinkertainen, että jokin symmetria­oletus muotoa ''F(x) = x'' pitää täsmälli­sesti paikkansa, ''x'' ei enää noudata [[klassinen fysiikka|klassisen fysiikan]] sääntöjä, vaan sitä on mallinnettava [[kvanttimekaniikka|kvantti­mekaniikan]] moni­mutkaisemmilla ja yleensä enemmän intuition vastaisilla säännöillä.
 
Tämä siirtymä tarjoaa samalla merkittävän näkymän siihen, miksi symmetrian matematiikka kytkeytyy niin syvällisellä tavalla kvantti­mekaniikan matema­tiikkaan. Kun fysikaaliset systeemit siirtyvät liki­määräisten symmetrioiden alueelta täsmällisten symmetrioiden alueelle, symmetrioiden matemaattiset ilmaisut lakkaavat olemasta liki­arvoja ja muuttuvat kyseistenn kohdeiden luonteen täsmällisiksi määritelmiksi. Tästä eteen­päin kohteet liittyvät niin läheisesti matemaattisiin kuvauksiinsa, että näitä kahta on vaikea erottaa toisistaan.
jos jokin fysi­kaali­nen ilmiö on mahdollinen, myös saman ilmiön peili­kuva on mahdollinen. Kaikki [[klassinen mekaniikka|klassisen meka­niikan]] ja myös [[sähkömagnetismi]]n lait ovat tässä mielessä symmetrisiä; on tosin huomattava, että [[magneettikenttä]] on luonteel­taan [[pseudovektori]]. Tämä luonnon­lakien symmetrisyys on yhtäpitävää sen kanssa, että [[pariteetti (fysiikka)|pariteetti]] säilyy.
 
Vuonna 1957 kuitenkin osoittautui, että pari­teetti ei säily kaikissa [[heikko vuorovaikutus|heikon vuorovaikutuksen]] aikaansaamissa [[hiukkasreaktio]]issa. Ensimmäiseksi tämä havaittiin tutkittaessa [[koboltti]]-60:n [[beetahajoaminen|beeta­hajoamista]] matalissa lämpötiloissa. Sen sijaan kaikissa tunnetuissa ilmiöissä pätee [[CPT-symmetria]]: jokainen luonnon­lakien mukainen ilmiö on mahdollinen myös siten muunnettuna, että tapahtuman paikal­linen ympäristö käännetään peili­kuvakseen, kaikki ilmiöön osallistuvat hiukkaset korvataan [[antihiukkanen|anti­hiukkasillaan]] ja ilmiö tapahtuu ajalli­sesti taka­perin.<ref name=Antimateria>{{verkkoviite | Osoite = http://www.kolumbus.fi/villea/antimateria.doc | Nimeke = Antimateria | Sivu = 6 | Julkaisija = Ville Autio, Henri Hokkanen | Tiedostomuoto = doc | Viitattu = 13.4.2013}}</ref>
<ref name=Antimateria>{{verkkoviite | Osoite = http://www.kolumbus.fi/villea/antimateria.doc | Nimeke = Antimateria | Sivu = 6 | Julkaisija = Ville Autio, Henri Hokkanen | Tiedostomuoto = doc | Viitattu = 13.4.2013}}</ref>
 
==== Ajan nuoli ====
Kaikki [[klassinen mekaniikka|klassisen mekaniikan]] ja [[sähkömagnetismi]]n perus­lait ovat symmetrisiä myös ajan suhteen siten, että jos jokin ilmiö on niiden mukaan mahdollinen, se on mahdollinen myös käänteiseen suuntaan. Niinpä mikään fysiikan laki ei estäisi esimerkiksi [[planeetta|planeettoja]] kiertämästä Auringon ympäri päin­vastaiseen suuntaan.
 
Joka­päiväisen kokemuksemme perusteella [[aika]] vaikuttaa kuitenkin perustavalla tavalla epä­symmetri­seltä: [[menneisyys|mennei­syy­dellä]] ja [[tulevaisuus|tule­vai­suu­della]] näyttää olevan ratkaiseva ero. Tämä ilmenee erityisesti siinä, että [[muisti|muistamme]] mennei­syyden mutta emme tule­vai­suutta,<ref name=Hawking>{{kirjaviite |Tekijä = Stephen Hawking | Nimeke = Ajan lyhyt historia | Sivu = 144-147 | Julkaisija = WSOY | Suomentaja = Risto Varteva | Vuosi = 1988 | TunnisteIsbn = 951-0-14092-4}}</ref> toisaalta voimme vaikuttaa tule­vai­suu­teen mutta emme mennei­syy­teen, ja yleensäkin syy on aina ennen seurausta. Viimeksi mainittu seikka ilmaistaan [[suppea suhteellisuusteoria|suppeassa suhteellisuus­teoriassa]] [[kausaliteetti|kausali­teetin]] invari­anssina. Lisäksi useimmat ympärillämme havaitsemamme ilmiöt ovat selvästi [[irreversiibeli|irrever­sii­be­lejä]] eli ne eivät voi tapahtua päinvastaiseen suuntaan: esimerkiksi pöydältä lattialle pudonnut astia saattaa särkyä, mutta sen sirpaleet eivät itsestään kokoonnu takaisin ehjäksi astiaksi. Niinpä jos mitä [[elokuva]]a näytetään takaperin, katsojat huomaavat asian yleensä heti.<ref name=Hawking />. [[Arthur Eddington]] antoi tälle ajan epäsymmetrisyydelle nimen [[ajan nuoli]]. [[Kosmologia|Kosmologisella]] tasolla ajan epä­symmetri­syys ilmenee [[maailmankaikkeuden metrinen laajeneminen|maailman­kaikkeuden metri­senä laaje­nemi­sena]].<ref name=Hawking />
 
On osoittautunut, että arki­elämän ilmiöiden ajallinen epä­symmetria eli irrever­sii­beliys perustuu kaikissa tapauk­sissa viime kädessä [[termodynamiikan toinen pääsääntö|termo­dymaniikan toiseen pää­sääntöön]]
=== Biologiassa ===
 
Symmetrialla on merkitys myös biologiassa. Monet eläimet, myös ihmiset, ovat ainakin likipitäen bilateraalisesti symmetrisiä eli vasen-oikea-symmetrisiä. Esimerkiksi [[Kädelliset|kädellisillä]] on tutkittu symmetrian merkitystä [[parinvalinta|parinvalinnassa]].<ref>{{Verkkoviite | Osoite = http://www.tiede.fi/uutiset/3251/viehattavat_kasvot_vihjaavat_paljon | Nimeke = Viehättävät kasvot vihjaavat paljon| Tekijä = | Tiedostomuoto = | Selite = | Julkaisu = Tiede| Ajankohta = 9.5.2008| Julkaisupaikka = | Julkaisija = | Viitattu = 5.4.2013 | Kieli = }}</ref> Toisaalta esimerkiksi [[meritähdet|meritähti]]en symmetria saattaa olla viisi- tai kahdeksanparista.
 
Useimpien kasvien [[lehti (kasvitiede)|lehdet]] ovat myös bilateraalisesti symmetrisiä. Monet [[kukka|kukat]] ovat likipitäen säteittäisesti symmetrisiä, toisin sanoen symmetrisiä sellaisten [[rotaatio (geometria)|rotaatioiden]] suhteen, joissa kiertokulma on 360° jaettuna kukan [[terälehti]]en lukumäärällä tai jokin tämän kulman monikerta.
Symmetria on tärkeä myös [[kemia]]ssa, koska se selittää monet [[spektroskopia]]n, [[kvanttikemia]]n ja [[kiderakenne|kiderakenteiden]] tutkimuksen havainnot.
 
Useimmat [[epäorgaaninen yhdiste|epäorgaaniset]] ja monet [[orgaaninen yhdiste|orgaanisetkin]] molekyylit ovat ainakin bilate­raali­sesti symmetrisiä; joillakin, esimerkiksi [[metaani]]molekyylillä on useampiakin symmetria­tasoja. On kuitenkin olemassa runsaasti myös epä­symmet­risiä molekyylejä. Tällaisissa tapauksissa yhdisteellä on kaksi [[optinen isomeria|optista isomeeria]], ja aine, joka sisältää vain toista iso­meeria, on [[optisesti aktiivinen|optisesti aktiivista]].<ref name=OrgKem>{{kirjaviite | Tekijä = Pentti Mälkönen | Nimeke = Orgaaninen kemia | Sivu = 159-162159–162 | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1979 | Tunniste = ISBN 951-1-05378-7}}</ref> Optisten isomeerien fysi­kaaliset ja kemialli­set ovat muutoin samat paitsi että ne kiertävät [[polarisaatio|polari­soitu­nutta]] valoa vastak­kaisiin suuntiin.<ref name=OrgKem /> Sitä vastoin niiden [[fysiologia|fysio­logiset]] vaikutukset ovat yleensä erilaiset, mikä johtuu soluissa ennestään olevista optisesti aktiivi­sista aineista.<ref name=OrgKem />
 
Esimerkkejä biologisesti merkittävistä optisesti aktiivi­sista aineista ovat [[sokeri]]t<ref>Mälkönen, s. 170-176</ref> sekä [[glysiini]]ä lukuun ottamatta kaikki [[aminohappo|amino­hapot]] ja [[proteiini]]t.<ref>Mälkönen, s. 200</ref>
 
[[Kvartsi]]n kiderakenne on myös epä­symmet­rinen, minkä vuoksi kvartsi on optisesti aktiivista. On siis olemassa kahden­laisia kvartsi­kiteitä, jotka raken­teeltaan ovat toistensa peili­kuvia ja kiertävät polari­soitu­nutta valoa vastakkaisiin suuntiin.<ref>{{kirjaviite | Nimeke = Otavan isoIso fokus, 5. osa (Mo-Qv) | Sivu = 3202, art. Polarisaatio | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1973 | Tunniste = ISBN 951-1-01070-0}}</ref>
 
==Historiassa, uskonnossa ja kulttuurissa==
Mielenkiintoinen esimerkki rikkoutuneesta symmetriasta arkkitehtuurissa on [[Pisan kalteva torni]], jonka kuuluisuus ei johdu mistään sen pienestä osasta eikä sen alun perin tarkoitetusta symmetriasta vaan symmetrian rikkoutumisesta sen kääntyessä kallelleen jo rakennus­vaiheessaan. Nykyaikaisia esimerkkejä arkkitehtuurista, joka tekee vaikutuksen mutkikaalla erilaisten symmetrioiden käytöstä, ovat [[Sydneyn oopperatalo]] [[Australia]]ssa ja yksinkertaisempi [[Astrodome]] [[Houston]]issa, [[Texas]]issa.
 
Symmetria löytää tiensä arkkitehtuuriin niin suuressa kuin pienessäkin mitta­kaavassa, alkaen rakennusten yleisnäkymistä ulkoa päin katsottuna sekä [[pohjapiirros|pohja­piirroksista]] aina rakennusten pieniin yksityiskohtiin saakka kuten [[ovi]]en peileihin, ikkunoiden [[lasimaalaus|lasi­maalauksiin]], lattia­laatoituksiin, [[friisi (arkkitehtuuri)|friiseihin]], [[porras|portaikkoihin]] ja [[balusteri|balustereihin]]. Eri­tasoisten symmetrioiden käytössä [[islam]]ilainen arkkitehtuuri, josta Taj Mahal on hyvä esimerkki, menee usein paljon pidemmälle kuin minkään muun kulttuurin ja aika­kauden aikaan­saannokset osittain siitä syystä, koska islam kieltää ihmisten ja eläinten kuvaamisen.<ref>[http://members.tripod.com/vismath/kim/ Williams: Symmetry in Architecture]</ref><ref>[http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/math-art-arch.shtml Aslaksen: Mathematics in Art and Architecture]</ref>
<ref>[http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/math-art-arch.shtml Aslaksen: Mathematics in Art and Architecture]</ref>
 
===Savi- ja metalliastioissa===
 
As [[quilt]]s are made from square blocks (usually 9, 16, or 25 pieces to a block) with each smaller piece usually consisting
of fabric triangles, the craft lends itself readily to the application of symmetry.<ref>[http://its.guilford.k12.nc.us/webquests/quilts/quilts.htm Quate: Exploring Geometry Through Quilts]</ref>
<ref>[http://its.guilford.k12.nc.us/webquests/quilts/quilts.htm Quate: Exploring Geometry Through Quilts]</ref>
-->
===Matoissa ja ryijyissä===
[[Tiedosto:Farsh1.jpg|thumb|300px|right|Persialainen matto]]
 
Symmetrian käytöllä [[matto|matoissa]] ja [[ryijy]]issä on monissa kulttuureissa pitkät perinteet. [[Navajot]] käyttivät sekä dia­gonaalisia että suora­kulmaisia aiheita. Monissa [[itämainen matto|itä­maisissa matoissa]] on selvä symmetria­keskussymmetriakeskus ja niiden reunoilla toistuu säännöllinen kuviointi. Mattojen suora­kulmaisen muodon vuoksi ei ole yllättävää, että niissä tyypillisesti käytetään kvadri­late­raalista symmetriaa, toisin sanoen niiden kuviot ovat symmetriset sekä pitkittäisen että poikittaisen akselin suhteen.<ref>[http://www.marlamallett.com/default.htm Mallet: Tribal Oriental Rugs]</ref><ref>[http://navajocentral.org/rugs.htm Dilucchio: Navajo Rugs]</ref>
 
===Musiikissa===
Lopuksi symmetrian havaitseminen ja arvostus riippuu myös kulttuurisesta taustasta. Esimerkiksi paljon suurempi mutkikkaiden geometristen symmetrioiden käyttö monissa islami­laisissa kulttuureissa tekee toden­näköisemmäksi, että sellaisista kulttuureista peräisin olevat henkilöt arvostavat sellaisia taide­muotoja, tai päinvastoin kapinoivat niitä vastaan.
 
Kuten monissa inhimillisissä toiminnoissa, näiden monien tekijöiden yhteistulos on, että symmetrian tehokas käyttö taiteessa ja arkki­tehtuu­rissaarkkitehtuurissa on monimutkainen, intuitiivinen asia ja riippuu suuresti niiden henkilöiden kyvistä, joiden on sovellettava sellaisia tekijöitä luovassa työssään. Rakenteen, värin, mitta­suhteiden ja muiden tekijöiden tavoin symmetria on voimakas aines sellaisissa synteeseissä; tarvitsee vain tutkia [[Taj Mahal]]ia sen toteamiseksi, kuinka suuri osuus symmetrialla on kohteiden esteettiseen puoleensa­vetävyyteen.
 
[[Modernistinen arkkitehtuuri]] hylkää symmetrian. Sen edustajat ovat sanoneet, että vain huono arkkitehti luottaa symmetriaan. Symmetristen muotojen, massojen ja rakenteiden sijasta modernistinen arkkitehtuuri perustuu siipi­rakennuksiin ja massojen tasapainoon. Jotkut ihmiset pitävät rakennusten ja rakennelmien epäsymmetrisiä muotoja vallan­kumouk­selli­sinakumouksellisina, toisten mielestä ne ovat levottomia, kyllästyttäviä ja luonnottomia.
 
Esimerkkejä symmetrian tietoisemmasta käytöstä voidaan löytääon [[M. C. Escher]]in taiteestataiteessa.
 
== Katso myös ==
6

muokkausta