Ero sivun ”Ekvivalenssirelaatio” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Korjattu refleksiivisyys |
KLS (keskustelu | muokkaukset) linkkejä |
||
Rivi 5:
(3) Jos aRb ja bRc, niin aRc.
Ensimmäistä ominaisuutta sanotaan [[refleksiivisyys|refleksiivisyydeksi]], toista [[symmetrisyys|symmetrisyydeksi]] ja kolmatta [[transitiivisuus|transitiivisuudeksi]]. Jokin yksittäinen määritelty [[relaatio]] eli suhde joukon alkioiden välillä on ekvivalenssi, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.
Esimerkiksi yhtäsuuruus [[reaaliluku]]jen joukossa on selvästikin ekvivalenssirelaatio, koska se toteuttaa varmasti kaikki kolme ekvivalenttisuuden ehtoa.
Rivi 11:
Toinen esimerkki: Määritellään relaatio I reaalilukujen välillä siten että aIb jos a-b on kokonaisluku. I on refleksiivinen, koska a-a = 0 on kokonaisluku. Jos aIb eli a-b on kokonaisluku, niin myös b-a on kokonaisluku eli bIa, joten I on symmetrinen. Myös jos aIb ja bIc, niin a-b ja b-c ovat kokonaislukuja eli myös a-c on kokonaisluku. Tällöin aIc ja I on transitiivinen. Kaikki kolme ehtoa ovat I:lle voimassa, joten I on ekvivalenssirelaatio.
Edellä kuvattu relaatio I tavallaan samaistaa kaikki keskenään ekvivalentit reaaliluvut joiden voidaan katsoa muodostavan yhden
Ekvivalenssiluokat voidaan ajatella esitetyiksi myös yksittäisten edustajiensa välityksellä. Esimerkiksi mainitussa ekvivalenssissa I voidaan valita luvut vaikka puoliavoimelta väliltä [0,1) edustamaan kaikkia relaation ekvivalenssiluokkia. Kuten huomataan, kaikki muut reaaliluvut ovat pakosta ekvivalentteja jonkin näistä luvuista kanssa.
| |||