Ero sivun ”Algebrallinen geometria” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
→Affiinit varistot:
Lauserakenteita selvennetty. |
|||
Rivi 13:
:<math>f:{\mathbb A}^n\to{\mathbb A}^1</math>
on '''säännöllinen,''' jos se voidaan kirjoittaa polynomiksi. Tämä tarkoittaa sitä, että on olemassa polynomi ''p'' joukossa
:''k''[''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>]
Rivi 19:
siten että jokaiselle pisteelle
:(''t''<sub>1</sub>,...,''t''<sub>''n''</sub>) <math>\in{\mathbb A}^n</math>
<nowiki> </nowiki>on voimassa
:''f''(''t''<sub>1</sub>,...,''t''<sub>''n''</sub>) = ''p''(''t''<sub>1</sub>,...,''t''<sub>''n''</sub>).
Säännölliset funktiot affiinissa ''n''-avaruudessa on siten täsmälleen samat kuin ''n'':n muuttujan polynomit ''k'':ssa. Merkitään
Sanomme
:''V''(''S'') = {(''t''<sub>1</sub>,...,''t''<sub>''n''</sub>) | kaikilla <math>p \in S</math>, ''p''(''t''<sub>1</sub>,...,''t''<sub>''n''</sub>) = 0}.
Osajoukko <math>{\mathbb A}^n</math> joka on ''V''(''S'') jollakin ''S'', on nimeltään '''algebrallinen joukko'''. ''V'' tulee nimestä ''varisto'' (tietyn tyyppinen algebrallinen joukko).
Jos on annettu joukon <math>{\mathbb A}^n</math> osajoukko ''V'' siten että ''V'' on varisto,
Nyt herää kaksi tärkeää kysymystä: On annettu joukon <math>{\mathbb A}^n</math> osajoukko ''V''. Milloin on
Rivi 43:
Vastaus ensimmäiseen kysymykseen saadaan [[Zariskin topologia]]n avulla, topologia <math>{\mathbb A}^n</math>:ssa joka kertoo suoraan <math>k[{\mathbb A}^n]</math>:n algebrallisen rakenteen. Tällöin ''V'' = ''V''(''I''(''V'')) jos ja vain jos ''V'' on Zariski-suljettu joukko. Toiseen kysymykseen vastauksen antaa [[Hilbertin Nullstellensatz]]. Lauseen erään muodon mukaan ''I''(''V''(''S'')) on ''S'':stä viritetyn ideaalin [[alkuradikaali]]. Toisin sanoen on olemassa [[Galois yhteys]], joka yhdistää kaksi [[sulkeumaoperaattori]]a. Nämä voidaan samaistaa ja ovat luonnollisesti teorian keskeinen käsite. Erilaisista syistä johtuen emme aina halua tutkia annetun algebrallisen joukon ''V'' koko ideaalia. [[Hilbertin kantalause]]esta seuraa, että <math>k[{\mathbb A}^n]</math>:n ideaalit ovat aina äärellisesti viritettyjä.
Algebrallisen joukon sanotaan olevan jaoton, jos sitä ei voida kirjoittaa kahden pienemmän algebrallisen joukon yhdisteeksi. Jaotonta algebrallista joukkoa kutsutaan myös '''varistoksi'''. Osoittautuu, että algebrallinen joukko on varisto jos ja vain jos joukon polynomit virittävät polynomirenkaan [[alkuideaali]]n.
== Säännölliset funktiot ==
| |||