Ero sivun ”Lukujonon raja-arvo” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
uo, osittainen yhdistys |
pEi muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 1:
'''Lukujonon raja-arvo''' on [[matematiikka|matematiikassa]] [[lukujono]]jen käyttäytymista ilmaiseva peruskäsite. Lukujono on järjestetty lukujen luettelo, joka voi olla äärettömän pitkä. Äärettömille lukujonoille on luontevaa tutkia mitä lukuarvoa kohti sen jonon jäsenet lähestyvät. Jos ne lähestyvät yhtä tiettyä lukua, sanotaan lukujonon ''suppenevan'' kohti tätä raja-arvoa. Muussa tapauksessa lukujono ''hajaantuu''.
== Määritelmä ==
[[Lukujono|Lukujonon]] <math>(x_n\,\!)</math> raja-arvo on sellainen luku <math>L</math>, että kaikilla <math>\epsilon >0</math> on olemassa <math>n_0\in \mathbb{N}</math> siten, että <math>|x_n-L|<\epsilon</math>, kun <math>n>n_0</math>. Sitä, että lukujonon <math>(x_n)\,\!</math> raja-arvo on <math>L</math>, merkitään
<center><math>\lim_{n\to\infty}x_n = L</math> .</center>
Kun lukujonolla on olemassa raja-arvo, sen sanotaan ''suppenevan''. Lukujono, joka ei suppene, ''hajaantuu''. Jos lukujonolla on raja-arvo, sanotaan myös, että jonon luvut ''lähestyvät'' tätä raja-arvoa, kun <math>n</math> kasvaa rajatta (tai lähestyy ääretöntä). Lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen, ja se suhtautuu lukujonoilla tehtäviin laskutoimituksiin funktion raja-arvon kanssa analogisesti.
Suppeneva lukujono on esimerkiksi
: <math>(1-0{,}1^n) = 0{,}9; 0{,}99; 0{,}999..., 1-0{,}1^n;... \,\!</math>
Sen raja-arvo on 1 eli <math>\lim(1-0,1^n) = 1</math> .
== Sarjan raja-arvo ==
[[Sarja (matematiikka)|Sarjan]] raja-arvo määritellään vastaavalla tavalla. Jos sarjalla on raja-arvo, se ''suppenee'', muussa tapauksessa se ''hajaantuu''. Suppenevia sarjoja ovat esimerkiksi sellaiset [[geometrinen sarja|geometriset sarjat]], joissa jokainen termi on [[itseisarvo]]ltaan edellistä pienempi, esimerkiksi
* <math>1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{1}{10000} + ... = 1,11111... = 1 \frac{1}{9}</math>
ja
* <math>1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... = 2</math>
Hajaantuvia sarjoja ovat esimerkiksi
*<math>1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...</math> ,
*<math>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...</math>
ja
*<math>1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...</math>.
Sarja x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> + x<sub>3</sub> + ... voi olla suppeneva vain, jos sen termit suppenevat kohti nollaa eli <math>\lim(x_n) = 0</math>. On kuitenkin olemassa olemassa myös sarjoja, joiden termit tosin suppenevat kohti nollaa, mutta jotka kuitenkin hajaantuvat. Yksinkertaisin esimerkki sellaisesta on [[harmoninen sarja]]
<math>1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ...</math>.
==Ominaisuuksia==
*Lukujonolla voi olla enintään yksi raja-arvo
*Suppeneva jono on aina rajoitettu
*Jos <math>\lim_{n\to\infty}x_n = a</math> ja <math>\lim_{n\to\infty}y_n = b</math>
Tällöin pätee
:<math>\lim_{n\to\infty}(x_n+y_n) = a + b</math> .</center>
:<math>\lim_{n\to\infty}(rx_n) = ra</math> . <math>r\in\mathbb{R}</math></center>
:<math>\lim_{n\to\infty}(x_ny_n) = ab</math>
:<math>\lim_{n\to\infty}(x_n/y_n) = a/b</math>
[[Luokka:Lukujonot]]
| |||