Wikipedia

Ero sivun ”Neliöksi täydentäminen” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
Toisen asteen polynomifunktion neliöksi täydentäminen
Ei muokkausyhteenvetoa
Rivi 10:
Halutaan tietää mitkä muuttujan x arvot toteuttavat yhtälön:
 
* :<math>4x^2 + 4x = 0</math>.
 
Täydennetään neliöksi lisäämällä ja vähentämällä 1.
 
* :<math>(4x^2 + 4x + 1) - 1 = 0</math>
* :<math>(2x+1)^2 - 1 = 0</math>
 
Välivaiheittain:<br>
 
(1) Otetaan termin <math>x^2</math>:n kerroin yhteiseksi tekijäksi ja toteutetaan ehto, että toisen asteen termin kerroin on yksi.
* :<math>4(x^2 + x) = 0</math>
 
(2) Täydennetään neliöön: ts. otetaan ensimmäisen asteen kertoimen, eli <math>1*x</math>:n, puolikkaan neliö <math>(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}</math> ja lisätään ja vähennetään se.
* :<math>4[(x^2 + x + \frac{1}{4}) -\frac{1}{4}] = 0</math>
(3) Poistetaan hakasulkeet, jolloin
* :<math>4(x^2 + x + \frac{1}{4}) - 1 = 0</math>
* :<math>4(x + \frac{1}{2})^2 - 1 = 0</math>
* :<math>(2x+1)^2 - 1 = 0</math>
 
Nyt yhtälö ratkeaa helposti
 
* :<math>(2x+1)^2 = 1 </math>
* :<math>2x + 1 = \pm 1 </math>
* :<math>2x = -1 \pm 1 </math>
* :<math>x = -\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}</math>.
 
Siis x on joko 0 tai -1.
Rivi 44:
<math> f(x) = a x^2 + bx + c = a(x + {b \over {2a}})^2 + c - {b^2 \over {4a}} </math>
 
Menetelmästä on se etu, että funktion käännepiste voidaan määrittää turvautumatta derivointiin. Käännepiste saadaan yhtälöstä <math> x + {b \over {2a}} = 0 </math>. ja funktionFunktion arvo tässä pisteessä on siten <math> f(-{b \over {2a}}) = c-{b^2 \over {4a}} </math> .
 
Funktion neliöksi täydentäminen tarkoittaa myös [[koordinaatisto]]n [[origo]]n. Jos funktio on täydennetyssä muodossaan
: <math>y = a(x + {b \over {2a}})^2 + c - {b^2 \over {4a}}</math>,
sille saadaan myös seuraava muoto
:<math>y - (c-{b^2 \over {4a}}) = a(x + {b \over {2a}})^2\text{.}</math>
Merkitään
:<math>
\begin{cases}
x' = x + {b \over {2a}} \\
y' = y - (c-{b^2 \over {4a}})
\end{cases}\text{.}</math>
Tällöin alkuperäinen funktio saadaan muotoon
:<math>y' = (x')^2</math>,
ja alkuperäinen origo on pisteessä
:<math> (x,y) = (-{b \over {2a}}, c-{b^2 \over {4a}})</math>, joilloin siis
:<math> (x',y') = (0,0).</math>
 
==Esimerkki 3==
Rivi 52 ⟶ 68:
 
 
(1) Järjestellään termit mieleiseksi, eli vakiot[[vakio]]t yhtälön oikealle puolelle ja [[Muuttuja (matematiikka)|tuntemattomat]] vasemmalle. Järjestellään x:t ja y:t.
* :<math>9x^2 + 36x - y^2 + 2y = -26</math>
 
(2) OtetaanRyhmitellään x:nlausekkeet funktiosta kerroin 9 ja y:n funktiosta -1 ulkopuolelle. Näin saadaan ehto täytettyäsellaisiksi, että toisen asteen termien kertoimet ovat sulkeiden sisällä 1. Otetaan x-termien yhteinen kerroin 9 ja y-termien kerroin -1 ulkopuolelle.
* :<math>9(x^2 + 4x) + (-1)(y^2 - 2y) = -26</math>
 
(3) Täydennetään neliöksi - lisätään ja vähennetään ensimmäisen asteen termien kertoimien puolikkaiden neliöt.
* :<math>9[(x^2 + 4x + 2^2) - 2^2] + (-1)[(y^2 - 2y + (-1)^2) - (-1)^2] = -26</math>
 
(4) Poistetaan hakasulkeet, ja eliminoidaan puolittain "ylimääräinen" neljäs vakio x:n ja y:n lausekkeesta:
* :'''<math>9(x^2 + 4x + 4)</math>''' ''- 36'' '''<math> + (-1)(y^2 - 2y + 1)</math>''' '' + 1''<math> = -26 | +36 | -1</math>
 
(5) Jolloin jää:
* :<math>9(x^2 + 4x + 4) + (-1)(y^2 - 2y + 1) = 9</math>
* :<math>9(x + 2)^2 - (y - 1)^2 = 9 |:9</math>
* :<math>\frac{(x+2)^2}{1} -\frac{(y-1)^2}{3^2} = 1</math>
 
 
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Neliöksi_täydentäminen”