Ero sivun ”Trigonometrinen funktio” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p kh |
|||
Rivi 44:
== Määritelmät suorakulmaisen kolmion avulla ==
[[Image:Suorakulmainen kolmio.svg|thumb|250px|[[suorakulmainen kolmio|Suorakulmaisessa kolmiossa]] on aina yksi 90° kulma, jota tässä merkitään γ:lla. Kulmat α ja β voivat vaihdella. Trigonometriset funktiot määräävät kolmion kulmien suhteiden ja sisäkulmien suuruuksien väliset yhteydet.]]
Määritelläksemme trigonometriset funktiot kulmalle ''α'', aloitamme mielivaltaisesta [[suorakulmainen kolmio|suorakulmaisesta kolmiosta]], jossa on kulma ''α''. Suorankulman vastainen sivu on hypotenuusa, mitä merkitsemme myös h:lla. Vastainen kateetti on tarkastelemamme kulman vastainen sivu eli a. Viereinen kateetti on suoran kulman ja tarkastelemamme kulman välinen sivu eli b.
Oletamme kaikkien kolmioiden olevan euklidisella tasolla, jolloin [[sisäkulma|sisäkulmien]] summa on 180°. Tällöin suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat molemmat välillä
Kulman '''sini''' on vastaisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. Huomaa, että tämä suhde ei riipu suorakulmaisesta kolmiosta: suorakulmaiset kolmiot, joissa on kulma ''α'', ovat yhdenmuotoisia. Kulman '''kosini''' on viereisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. Kulman '''tangentti''' on vastaisen ja viereisen kateetin pituuksien suhde. Määritelmistä saamme seuraavat kaavat:
Rivi 65:
</math>
Kun kulma <math> \alpha</math> on hyvin lähellä nollaa tai suoraa kulmaa, kolmio on muodoltaan hyvin kapea. Tällöin siinä toinen kateetti on hyvin lyhyt ja toinen melkein hypotenuusan pituinen. Tällä perusteella laajennamme antamaamme trigonometristen
:<math>
Rivi 128:
:{|
| <math>\tan x \, </math>
| <math> {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} </math>
|-
Rivi 135:
|-
|
| <math> {} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots,
\qquad \mbox{kun } |x| < \frac {\pi} {2} </math>
|}
Rivi 142:
:{|
| <math>\csc x \, </math>
| <math> {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} </math>
|-
Rivi 151:
:{|
| <math>\sec x \, </math>
| <math> {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_n x^{2n}}{(2n)!} </math>
|-
Rivi 163:
:{|
| <math>\cot x \, </math>
| <math> {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} </math>
|-
Rivi 173:
missä
:<math>B_n \,</math> on ''n'':s [[Bernoullin luku]],
:<math>E_n \,</math> on ''n'':s [[Eulerin luku]], ja
:<math>U_n \,</math> on ''n'':s [[Boustrophedonin muunnos|ylös/alas-luku]].
Rivi 193:
: <math>\cos z \, = \, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \, = \, {e^{\imath z} + e^{-\imath z} \over 2} = \cosh \left(\imath z\right)</math>
missä <math>i^2 = -1</math>.<ref>{{Kirjaviite | Tekijä =Nevanlinna, R., Paatero, V.
:<math>\tan z=\frac{\sin z}{cos z}=\frac{1}{i}\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}}</math><ref>{{Kirjaviite | Tekijä =Nevanlinna, R., Paatero, V.
Lisäksi kaikille reaalisille <math>x</math>:
Rivi 205:
====Funktioiden käyttäytyminen kompleksitasossa====
Funktio <math>\cos z</math> ei saavuta [[ääretön]]tä missään äärellisessä pisteessä, mutta funktio lähenee sitä raja-arvona, jos <math>z</math> lähestyy
Rivi 226:
=== Radiaanien merkitys ===
Radiaanit määrittelevät kulman mittaamalla yksikköympyrän kehää pitkin kuljettua matkaa ja ovat trigonometristen funktioiden luonnollinen muuttuja. Ainoastaan ne sini- ja kosinifunktiot, jotka kuvaavat radiaanit suhteiksi, toteuttavat ne differentiaaliyhtälöt, jotka tavallisesti kuvaavat niitä. Jos sinin tai kosinin muuttujan "taajuutta" muutetaan,
:<math>f(x) = \sin(kx); k \ne 0, k \ne 1 \,</math>
Rivi 312:
Yleensä trigonometrisen funktion arvoa ei voida esittää tarkasti, mutta joillekin erityisarvoille tämä onnistuu helposti käyttämällä [[Pythagoraan lause|Pythagoraan lausetta]] apuna. Esitämme näistä arvoista muutamia ja kaksi ns. muistikolmiota, joiden avulla voi tarkkoja arvoja laskea käsin.
[[Neliö_(geometria)|Neliön]] lävistäjä jakaa neliön kahteen yhtä suureen suorakulmaiseen ja tasakylkiseen kolmioon. Näissä molemmissa kateetit ovat yhtä pitkät ja kulmat 45°-45°-90°. Pythagoraan lauseen mukaan neliön lävistäjän ja sivun suhde on √2. Nyt kun suorakulmaisen kolmion kaikkien sivujen pituudet tunnetaan, voidaan trigonometristen funktioiden tarkka arvo laskea määritelmien avulla.
[[Tasasivuinen kolmio|Tasasivuisen kolmion]] kaikki kulmat ovat suuruudeltaan 60°. Jakamalla tämä kolmio kahtia [[korkeusjana]]lla, syntyy kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden kulmat ovat 30°-60°-90° ja lyhyemmän kateetin pituus on puolet hypotenuusasta. Pythagoraan lauseesta seuraa, että pidemmän kateetin pituus on √3/2 kertaa hypotenuusan pituus.
Rivi 332:
\end{align}
</math>
Näiden sekä edellä jo mainittujen yhteen- ja vähennyslaskukaavojen avulla trigonometristen funktioiden tarkat arvot voi johtaa monille muillekin kulmille, kuten kaikille kulmille, joiden asteluku on kolmen monikerta. Käytännössä lausekkeista tulee melko monimutkaisia.
Rivi 416:
==Katso myös==
* [[Alkeisfunktiot]]
* [[Arkusfunktiot]]
Rivi 425 ⟶ 424:
==Aiheesta muualla==
* [http://opetus.tv/maa/maa9/sini-ja-kosini-yksikkoympyrassa/ Opetusvideoita aiheesta Opetus.tv-sivustolla]
Rivi 433 ⟶ 431:
{{Link FA|fr}}
{{Link FA|km}}▼
{{Link FA|ca}}▼
{{Link GA|pl}}
{{Link GA|zh}}
▲{{Link FA|km}}
▲{{Link FA|ca}}
| |||