[[Funktioteoria]]ssa, '''de Brangesin lause''' kertoo välttämättömän ehdon sille, että analyyttinen funktio kuvaa yksikkökiekon injektiivisesti [[kompeksitaso]]on Lause on nimetty ranskalais-amerikkalaisen [[Louis de Branges de Bourcia|Louis de BrangesBrangesin]] mukaan, tunnettumutta se tunnettiin ennenaikaisemmin nimellä '''Bieberbachin otaksumaotaksumana''', saksalaisen [[Ludwig Bieberbach]]in mukaan,. antaa välttämättömän ehdon sille, että analyyttinen funktio kuvaa yksikkökiekon injektiivisesti [[kompeksitaso]]lle. Otaksuman esitti Bieberbach jo vuonna [[1916]], mutta väittämänsen todisti de Branges vuonna [[19851984]]. Myöhemmin de Brangesin alkuperäistä todistusta on pystytty lyhentämään.
De Brangesin lause koskee yksikkökiekossa sileän eli injektiivisen [[analyyttinen funktio|analyyttisen funktion]] <math>f</math> [[Taylorin sarja]]n kertoimia. Kun ''a<submath>nf</submath>''. Analyyttiset funktiot voidaan aina normittaanormitetaan sitenniin, että ''a''<submath>f(0)=0</submath>=0 ja ''a''<submath>f'(0)=1</submath>=1., Josniin tarkastellaan analyyttistä<math>f</math>:llä funktiotaon ''f'' jayksikkökiekossa potenssisarjaesitys, joka on senmuotoa sarjaesitystä
:<math>f(z)=z+\sum_{n\geq =2}^{\infty} a_n z^n.</math>
on De Brangesin lauseen mukaan kaikilla <math>n\geq 2</math> on
:<math>\left| a_n \right| \leq n.\,</math>
Lisäksi kertoimien maksimit saavutetaan. On nimittäin <math>|a_n|=n</math> silloin ja vain siloin, kun
Termin ''a''<sub>0</sub> normalisointi tarkoittaa, että ''f''(0) = 0. Tästä voi vakuuttua, kun kuvataan ''f'' sellaisella [[möbiuskuvaus|möbiuskuvauksella]], joka kuvaa yksikköympyrän itselleen.
:<math>f(z)={z\over(1-\lambda z)^2},</math>
Tapaus ''n''=1 tunnetaan [[Schwarzin lemma]]na, ja tämä tapaus tunnetaan jo 1800-luvulta. Tämä on seurausta [[maksimiperiaate|maksimiperiaatteesta]] sovellettuna funktioon ''f''(''z'')/''z''.
missä <math>|\lambda|=1</math>.
Tapaukselle ''n'' ≥ 2 tunnettiin useita osittaistuloksia ennen vuotta 1985.
[[Luokka:Funktionaalianalyysi]]
Väitteen todisti oikeaksi tapauksessa <math>n=2</math> Ludwig Bieberbach vuonna 1916. Vuoteen 1973 mennessä väite oli onnistuttu todistamaan oikeaksi, kun <math>n\leq 8</math>.
[[Luokka:Kompleksianalyysi]]
|