Ero sivun ”Srinivasa Ramanujan” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
pEi muokkausyhteenvetoa |
''matemaattiset tulokset'', otettu ruotsinkielisestä wikipediasta |
||
Rivi 4:
Ramanujan työskenteli lähinnä analyyttisen [[lukuteoria]]n ja analyysin parissa ja on kuuluisa lukuisista vakioita ja [[alkuluku]]ja koskevista kaavoista. Hän esitti monia kaavoja ilman muodollista todistusta, ja todistukset löydettiin vasta myöhemmin.
==Matemaattiset tulokset==
===Alkeismatematiikka===
Ramanujan todisti monia alkeellisia, mutta kiehtovia tuloksia:
:<math>(3x^2+5xy-5y^2)^3 + (4x^2-4xy+6y^2)^3 + (5x^2-5xy-3y^2)^3 = (6x^2-4xy+4y^2)^3 </math>
: <math>\sqrt{(n+a)^2 + x\,a + x\,\sqrt{(n+a)^2 + (x+n)\,a + (x+n)\,\sqrt{(n+a)^2 + (x+2n)\,a + (x+2n)\,\sqrt{\dots}}}}</math><br /><math>= x\,+\,n\,+\,a.</math>
Hän kehitti monia approximaatioita [[pii]]lle:
:<math>\frac{9}{5}+\sqrt{\frac{9}{5}} = 3.1416^+</math>
:<math> \sqrt[4]{3^4+2^4+\frac{1}{2+(\frac{2}{3})^2}} =\sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.14159\ 2652^+.</math>
Identiteettejä juurille:
: <math> \sqrt[4]{\frac{3 + 2 \sqrt[4]{5}}{3 - 2 \sqrt[4]{5}}} = \frac{ \sqrt[4]{5} + 1}{\sqrt[4]{5} - 1}=\tfrac12\left(3+\sqrt[4]5+\sqrt5+\sqrt[4]{125}\right),</math>
: <math> \sqrt{ \sqrt[3]{28} - \sqrt[3]{27}} = \tfrac13\left(\sqrt[3]{98} - \sqrt[3]{28} -1\right), </math>
: <math> \sqrt[3]{ \sqrt[5]{\frac{32}{5}} - \sqrt[5]{\frac{27}{5}} } = \sqrt[5]{\frac{1}{25}} + \sqrt[5]{\frac{3}{25}} - \sqrt[5]{\frac{9}{25}}, </math>
: <math>\sqrt[3]{\ \sqrt[3]{2}\ - 1}= \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}. </math>
===Kombinatoriikka===
Ramanujan tutki [[Bernoullin luvut|Bernoullin lukuja]] ja löysi monia kiehtovia ominaisuuksia:
:<math>{{m+3}\choose{m}}B_m=\begin{cases} {{m+3}\over3}-\sum\limits_{j=1}^{m/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}, & \mbox{om}\ m\equiv 0\pmod{6};\\
{{m+3}\over3}-\sum\limits_{j=1}^{(m-2)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}, & \mbox{om}\ m\equiv 2\pmod{6};\\
-{{m+3}\over6}-\sum\limits_{j=1}^{(m-4)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}, & \mbox{om}\ m\equiv 4\pmod{6}.\end{cases}</math>
===Äärettömät sarjat===
Ramanujan löysi monia [[sarja (matematiikka)|äärettömiä sarjoja]] [[pii]]lle:
:<math> \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}.</math>
Toinen hänen tuloksistaan äärettömille sarjoille on
:<math> \left [ 1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n\theta)}{\cosh(n\pi)} \right ]^{-2} + \left [1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cosh(n\theta)}{\cosh(n\pi)} \right ]^{-2} = \frac {2 \Gamma^4 \left ( \frac{3}{4} \right )}{\pi} </math>
kaikille <math>\theta</math>, missä <math>\Gamma(z)</math> on [[gammafunktio]]. Hän todisti myös monia tuloksia [[hypergeometrinen sarja|hypergeometrisille sarjoille]], kuten:
: <math>1 - 5\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{1\times3}{2\times4}\right)^3 - 13\left(\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3 + \cdots = \frac{2}{\pi}</math>
: <math>1 + 9\left(\frac{1}{4}\right)^4 + 17\left(\frac{1\times5}{4\times8}\right)^4 + 25\left(\frac{1\times5\times9}{4\times8\times12}\right)^4 + \cdots = \frac{2^\frac{3}{2}}{\pi^\frac{1}{2}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)}.</math>
Ensimmäinen tulos oli jo tunnettu, mutta toinen oli todennäköisesti uusi.
===Integraalit===
Ramanujan laski monia mielenkiintoisia integraaleja, kuten
: <math>\int_0^\infty \cfrac{1+{x}^2/({b+1})^2}{1+{x}^2/({a})^2} \times\cfrac{1+{x}^2/({b+2})^2}{1+{x}^2/({a+1})^2}\times\cdots\;\;dx = \frac{\sqrt \pi}{2} \times\frac{\Gamma(a+\frac{1}{2})\Gamma(b+1)\Gamma(b-a+\frac{1}{2})}{\Gamma(a)\Gamma(b+\frac{1}{2})\Gamma(b-a+1)}.</math>
===Ketjumurtoluvut===
Ramanujan löysi suuren määrän kaavoja [[ketjumurtoluku|ketjumurtoluvuille]]:
:<math> 1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \cdots + {{1\over 1 + {1\over 1 + {2\over 1 + {3\over 1 + {4\over 1 + {5\over 1 + \cdots }}}}}}} = \sqrt{\frac{e\cdot\pi}{2}}</math>
:<math>\sqrt{\varphi+2}- \varphi = \cfrac{e^{-2 \pi/5}}{1 + \cfrac{e^{-2 \pi}}{1 + \cfrac{e^{-4 \pi}}{1+ \cfrac{e^{-6 \pi}}{1+\,\cdots}}}} </math>
missä <math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}2</math> on [[kultainen leikkaus]];
: <math>\frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{\displaystyle 1 + \frac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{\displaystyle 1 + \frac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{\ddots}}}}
= \Biggl(\frac{\sqrt{5}}{1+^5\sqrt{5^\frac{3}{4}(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^\frac{5}{2}-1}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2}\Biggr) \cdot e^{2\pi/\sqrt{5}}. </math>
===Q-sarjat===
:<math>\;_1\psi_1 \left[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix} ; q,z \right]
= \sum_{n=-\infty}^\infty \frac {(a;q)_n} {(b;q)_n} z^n
= \frac {(b/a,q,q/az,az;q)_\infty }
{(b,b/az,q/a,z;q)_\infty} </math>
jos |''q''| < 1 ja |''b''/''a''| < |''z''| < 1.
[[Rogers-Ramanujanin identiteetit]]:
:<math>G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} =
\frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}
=1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots \,
</math>
ja
:<math>H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} =
\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty}
=1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots \,
</math> .
Muita q-sarjoja:
:<math>\sum_{k=0}^\infty p(5k+4)q^k=5\frac{(q^5)_\infty^5}{(q)_\infty^6}</math>
:<math>\sum_{k=0}^\infty p(7k+5)q^k=7\frac{(q^7)_\infty^3}{(q)_\infty^4}+49q\frac{(q^7)_\infty^7}{(q)_\infty^8}</math>
missä p(n) on [[partitiofunktio]]. Tästä saadaan korollaareina [[kongruenssi]]t
:<math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math>
:<math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7.</math>
Ramanujan löysi myös kolmannen kongruenssin:
:<math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}.</math>
===Eisensteinsarjat===
Määritellään
:<math>L(q)=1-24\sum_{n=1}^\infty \frac {nq^n}{1-q^n}=E_2(\tau)</math>
:<math>M(q)=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n}=E_4(\tau)</math>
:<math>N(q)=1-504\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n}=E_6(\tau),</math>
silloin on
:<math>q\frac{dL}{dq} = \frac {L^2-M}{12}</math>
:<math>q\frac{dM}{dq} = \frac {LM-N}{3}</math>
:<math>q\frac{dN}{dq} = \frac {LN-M^2}{2}.</math>
Nämä kaavat johtavat korollaareihin [[aritmeettinen funktio|aritmeettisille funktioille]]. Määritellään
==Lähteet==
* {{Kirjaviite | Tekijä = Hardy, G. H.| Nimeke = Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work| Vuosi = 1999| Julkaisupaikka = New York| Julkaisija = Chelsea|| Tunniste =| www = | www-teksti = |Tiedostomuoto = | Viitattu = | Kieli = }}
| |||