Ero sivun ”Paraabeli” versioiden välillä

Tarkastellaan paraabelin <math>y=ax^2+bx+c</math>, missä <math>a\neq 0</math>, peilaamista huippupisteen <math>(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})</math> kautta kulkevan tangenttinsa suhteen. PeilaaminenOlemme siis kiinnostuneita "kääntämään paraabelin ylösalaisin pitämällä huippupiste paikallaan". Tämä voidaan tehdäajatella tehtävän kahdessa välivaiheessavaiheessa. (1) peilataanPeilataan paraabeli aluksi <math>y</math>-akselin suhteen ja (2) siirretään näin saatua paraabelia pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen:

(1) <math>y</math>-akselin suhteen peilaaminen vaihtamaavaihtaa etumerkit: <math>y=-ax^2-bx-c</math>. TämänNäin saadun paraabelin huippu on pisteessä <math>(-\frac{b}{2a},-\frac{4ac-b^2}{4a})</math>.

(2) Tarvittava pystysuuntainen siirto on suuruudeltaan <math>2\cdot\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{2a}</math>. Tämä on selvää, koska huippupisteen <math>x</math>-koordinaatti ei muutu vaiheessa (1), mutta <math>y</math>-koordinaatti vaihtuu vastaluvuksi. Siirto johtaa vaiheessa (1) saadun paraabelin yhtälön muuttumiseen vastaavasti: päädytään paraabeliin <math>y=-ax^2-bx-c+\frac{4ac-b^2}{2a}</math> eli <math>y=-ax^2-bx+\frac{2ac-b^2}{2a}</math>.

JosKun paraabelinsiis ajateltaisiajatellaan, olevanettä siisparaabeli on kiinni vain huippupisteestään, ja tämä paraabelise käännettäisiinkäännettään ylösalaisin, saataisiinpäädytään paraabeliparaabeliin <math>y=-ax^2-bx+{2ac-b^2 \over 2a}</math>.

<b>Esimerkki.</b> Paraabelin <math>y=2x^2+x+1</math> peilikuva;, eli "käännetty" paraabeli, on siis <math>y=-2x^2-x+0,75</math>.