Ero sivun ”L’Hôpitalin sääntö” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p →Ongelmatapauksia: oma typo |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 3:
'''L'Hôpitalin sääntö''' (myös: '''l'Hospitalin''') on 1600-luvun lopulla kehitetty, ranskalaisen matemaatikon [[Guillaume de l'Hôpital]]in mukaan nimetty [[matematiikka|matemaattinen]] menetelmä, jossa käytetään [[derivaatta|derivaattaa]] apuna laskettaessa [[epämääräinen muoto|epämääräistä muotoa]] olevia [[raja-arvo|raja-arvoja]]. L'Hôpital julkaisi säännön kirjassaan ''Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes'' vuonna 1696. L'Hôpitalin säännön on itse asiassa kehittänyt l'Hôpitalin opettaja, sveitsiläinen matemaatikko [[Johann Bernoulli]] <ref>{{Kirjaviite | Tekijä=Boyer, Carl | Nimeke=Tieteiden kuningatar: Matematiikan historia. Osa 2 | Selite=(A history of mathematics) | Suomentaja = Kimmo Pietiläinen | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Art House | Vuosi=1994 | Sivut =592–594 | Tunniste=ISBN 951-884-150-0}}</ref>. L'Hôpital ja Bernoulli kirjoittivat sopimuksen, jonka mukaan l'Hôpital sai korvausta vastaan käyttää Bernoullin matemaattisia tuloksia vapaasti omissa nimissään.
Olkoot [[funktio]]t <math>\scriptstyle f</math> ja <math>\scriptstyle g</math> [[Jatkuva funktio|jatkuvia]] ja [[derivaatta|derivoituvia]] välillä <math>\scriptstyle A\smallsetminus\{a\}</math>, missä <math>\scriptstyle A</math> on avoin väli, joka sisältää pisteen <math>\scriptstyle a</math>.
Oletetaan lisäksi, että
::<math>\lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)=0 \text{ tai } \pm\infty</math> ja
::<math>\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> on olemassa (äärellisenä tai äärettömänä) ja
::<math>g'(x)\neq 0</math> kaikille <math>x \in A \smallsetminus \{ a \}</math>.
Nyt l'Hôpitalin säännön mukaan seuraava on tosi: näiden funktioiden osamäärän raja-arvo <math>\scriptstyle L</math> kohdassa <math>\scriptstyle a</math> on sama kuin funktioiden derivaattojen osamäärän raja-arvo samassa kohdassa. Matemaattisin merkinnöin ilmaistuna saamme jälkimmäisestä lauseesta
::<math>
Rivi 14:
</math>
Sääntöä voidaan soveltaa useita kertoja peräkkäin, mutta säännön soveltamisen ehdot on tarkastettava tällöin uudelleen joka sovelluskerralla. Sääntö mm. helpottaa raja-arvojen laskemista, kun funktioiden derivaattojen raja-arvot on helpompi laskea kuin itse funktioiden, etenkin kun derivaattojen arvot pisteessä <math>\scriptstyle a</math> poikkeavat nollasta. Sääntö voidaan laajentaa myös koskemaan toispuoleisia sekä äärettömiä raja-arvoja.
| |||