Ero sivun ”Ptolemaioksen lause” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
|||
Rivi 1:
[[Tiedosto:Ptolemy equality.svg|thumb|Syklinen nelikulmio]]
[[Tiedosto:Ptolemy inequality.svg|thumb|Yleinen nelikulmio, joka ei ole syklinen.]]
'''Ptolemaioksen lauseet''' on [[geometria]]ssa [[nelikulmio]]ihin liittyviä tuloksia. Kuuluisimpia [[Klaudios Ptolemaios|Klaudios Ptolemaioksen]] nimiin kirjattuja tuloksia ovat [[syklinen nelikulmio|syklisiin nelikulmiohin]] liittyvä yhtälö ja yleisiin nelikulmioihin liittyvä epäyhtälö. Näiden avulla hän muun muassa johti eräitä [[trigonometria]]n summakaavoja.<ref name=PtolemysTheorem/><ref name=PtolemyInequality/><ref name=CyclicQuadrilateral/>
Ptolemaios todisti [[Konveksi monikulmio|koveksille]] sykliselle nelikulmiolle seuraavan lauseen (kuvan merkinnöillä):
▲== Ensimmäisen Ptolemaioksen lauseen todistus ==
:<math>AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD,</math> <ref name=yiu148/>
eli vastaisten sivujen tulojen summa on sama kuin lävistäjien tulo (todistus <ref name=yiu148/>).
=== Pythagoraan lause ===
Jos nelikulmio on (syklinen) [[suorakulmio]], ovat vastaiset sivut yhtäpitkät. Nimeämällä kärjen A mukaan AB = CD ja AC = BD ja totemalla lävistäjien olevan yhtäpitkät AD = BC, saadaan
:<math>AB \cdot AB + AD \cdot AD = AC \cdot AC</math>
eli
:<math>AB^2 + AD^2 = AC^2.</math>
Tämä on [[Pythagoraan lause]] suorakulmaiselle kolmiolle, jota mainitut sivut merkitsevät.<ref name=wp/>
== Ptolemaioksen toinen lause ==
Ptolemaios huomasi toisenkin ominaisuuden. Syklisen nelikulmion lävistäjät ovat verrannollisia lävistäjän päätepisteistä lähtevien sivujen tulojen summaan. Esimerkiksi lävistäjän '''AC''' päätepisteestä '''A''' lähtee sivut '''AB''' ja '''AD''' ja päätepisteestä '''C''' lähtee sivut '''CB''' ja '''CD'''. Verrannollisuus on esitettävissä
:<math>AC \sim AB \cdot AD + CB \cdot CD.</math>
Lävistäjien suhde on siten (todistus <ref name=wp/>)
:<math>\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD+CB\cdot CD}{BA\cdot BC+DA\cdot DC}.</math> <ref name=wp/>
== Ptolemaioksen epäyhtälö ==
Ensimmäisen lauseen mukaan nelikulmion ABCD sivujen ja lävistäjien pituuksille voidaan esittää
:<math>AB\cdot CD+BC\cdot AD\geq AC\cdot BD</math>.
Epäyhtälö on voimassa kaikille nelikulmioille, mutta yhtäsuuruus on voimassa vain syklisille nelikulmioille.<ref name=penq200/>
=== Ptolemaioksen epäyhtälön todistus ===
Tarkastellaan nelikulmiota ABCD. Kostruoidaan nyt piste E siten, että kolmiot ACD ja AEB ovat yhdenmuotoiset(<math>\angle ABE=\angle CDA</math> ja <math>\angle BEA=\angle CAD</math>). Tällöin <math>\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DC},</math>
joten
Rivi 20 ⟶ 44:
<math>AC\cdot DB\leq AB\cdot DC+BC\cdot AD</math>, missä yhtäsuuruus esiintyy vain jos <math>ABCD</math> on jännenelikulmio.
==
{{Viitteet|viitteet=
* <ref name=yiu148>{{Verkkoviite | osoite = http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf
| nimeke = Euclidean Geometry | tekijä = Yiu, P. | julkaisu = http://math.fau.edu/yiu/Geometry.html |Selite=luentomoniste, s.148-152 | ajankohta = 1998 | julkaisija = Florida Atlantic University | viitattu = 25.9.2013 }}</ref>
* <ref name=wp>http://geome3atc.wordpress.com/2010/08/06/ptolemys-theorems/</ref>
* <ref name=penq200>{{Kirjaviite| Nimeke = The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | Julkaisija = Penguin Group | Vuosi = 1991| Tekijä = Wells, David | Sivut =200-201 | Julkaisupaikka = Englanti | Isbn =0-14-011813-6 | Viitattu =10.5.2013 | Kieli = {{en}} }}</ref>
* <ref name=CyclicQuadrilateral>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html | Nimeke = Cyclic Quadrilateral | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
* <ref name=PtolemyInequality>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html | Nimeke = Ptolemy Inequality | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
* <ref name=PtolemysTheorem>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/PtolemysTheorem.html | Nimeke = Ptolemy's Theorem | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
}}
[[Luokka:Geometria]]
[[Luokka:Epäyhtälöt]]
| |||