Ero sivun ”Kokonaisalue” versioiden välillä

4 merkkiä poistettu ,  7 vuotta sitten
Alkion <math>a</math> monikerta on <math>na=a+a+ \cdots +a</math>, missä yhteenlaskettavia on ''n'' kappaletta. Jos kokonaisalueen ''D'' alkion ''a'' monikerta <math>na</math> on nolla jollakin positiivisella kokonaisluvulla ''n'', kun ''a'' on nollasta poikkeava, niin jokaisella ''D'':n alkiolla ''b'' tulo ''nb'' on nolla. Tämä nähdään seuraavasti: Olkoon ''a'' nollasta poikkeava kokonaisalueen ''D'' alkio ja olkoon ''D'':n karakteristika ''n''. Tällöin <math>na = a + ... + a = a \cdot 1 + \ldots + a \cdot 1 = a \cdot (1 + \ldots + 1) = a \cdot (n1)</math>, joten jos <math>a \neq 0</math>, niin täytyy olla <math>n1 = 0</math>, koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia. Kertomalla tämä ''b'':llä ja kirjoittamalla lauseke vastaavalla tavalla auki päädytään yhtälöön <math>nb = 0</math>.
 
Koska jokainen kokonaisalue on rengas, niin pienintä edellä mainitun kaltaista lukua ''n'' sanotaan kokonaisalueen '''karakteristikaksi''' ja merkitään char(''D'') = ''n''. Jos tällaista lukua ei ole, merkitään char(''D'') = 0. Karakteristika on aina joko nolla tai alkuluku. Tämä nähdään seuraavasti: Oletetaan, että char(''D'') = ''n'', <math>n \neq 0</math>. <math>n = n_1 n_2</math>. Tällöin <math>n1 = (n_1 1)(n_2 1)</math> ja koska kokonaisalueessa ei ole nollantekijöitänollanjakajia, on <math>n_1 1= 0</math> tai <math>n_2 1 = 0</math>. Tarvittaessa muuttujat uudelleen nimeämällä saadaan <math>n_1 1 = 0</math>. Luku ''n'' on kuitenkin karakteristikan määritelmän mukaan pienin tällaisen ehdon toteuttava luku, eli <math>n_1 = n</math>. Siispä luvulla ''n'' ei voi olla epätriviaaleja tekijöitä.
 
Luokittelu eri karakteristikan mukaan on tärkeä tapa jaotella kokonaisalueita. Erityisen suuri ero on niiden kokonaisalueiden välillä, joiden karakteristika on nolla (äärettömien) ja joiden karakteristika on alkuluku. Jos kokonaisalueen ''D'' karakteristika on nolla, on ''D'':ssä äärettömän monta alkioita. Esimerkiksi kuntalaajennukset käyttäytyvät eri lailla riippuen siitä, onko alkukunnan karakteristika ääretön vai äärellinen. Ero tulee näkyviin esimerkiksi [[kuntalaajennus]]ten yhteydessä.
Rekisteröitymätön käyttäjä