Ero sivun ”Kategoriateoria” versioiden välillä

[[Tiedosto:Commutative diagram for morphism.svg|right|thumb|200px|Kategoria, jossa objekteina ovat ''X'', ''Y'' ja ''Z'', mmorfismeina ''f'', ''g'' ja ''g'' ∘ ''f'' ja kolmena identiteettimorfismina (jotka eivät näy kaaviossa) 1_''X'', 1_''Y'' ja 1_''Z''.]]

'''Kategoriateoria''' on [[Matematiikka|matematiikan]] osa-alue, jossa käsitellään abstraktilla tavalla matemaattisia rakenteita ja niiden välisiä suhteita. Se abstraktoi [[Joukko-oppi|joukkoja]] ja [[funktio]]ita.

Monia tärkeitä matematiikan aloja voidaan muodollisesti käsitellä kategoriateorian käsittein. Kategoriateoria suo mahdollisuuden muotoilla ja myös todistaa monet matematiikan tulokset paljon yksinkertaisemmin kuin se voitaisiin tehdä kategorioita käyttämättä.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Robert Geroch | Nimeke = Mathematical Physics | Julkaisija = University of Chicago Press | Vuosi = 1985 | Julkaisupaikka = Chicago | Tunniste = ISBN 0-226-28862-5| Sivu = 7 | www = http://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/M/bo4158035.html|edition=[Repr.]|quote=Note that theorem 3 is actually easier for categories in general than it is for the special case of sets. This phenomenon is by no means rare.}}</ref>

:* [[Liitäntälaki]]: Jos {{nowrap|1=''f'' : ''a'' → ''b''}}, {{nowrap|1=''g'' : ''b'' → ''c''}} ja {{nowrap|1=''h'' : ''c'' → ''d''}}, niin {{nowrap|1=''h'' ∘ (''g'' ∘ ''f'') = (''h'' ∘ ''g'') ∘ ''f''}}, ja

:* [[IdentitettiIdentiteetti (matematiikka)|Identiteetti]]: Jokaista objektia ''x'' kohti on olemassa sellainen morfismi {{nowrap|1=1_''x'' : ''x'' → ''x''}}, jota sanotaan ''identiteettimorfismiksi'', että jokainen morfismi {{nowrap|1=''f'' : ''a'' → ''b''}}, toteuttaa ehdot {{nowrap|1=1_''b'' ∘ ''f'' = ''f'' = ''f'' ∘ 1_''a''}}.<ref name=ensyklopedia>{{kirjaviite | Nimeke = Otavan suuri Ensyklopedia, 7. osa (Juusten - Kemal) | Sivu = 2792-2793, art. Kategoriateoria | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1978 | Tunniste = ISBN 951-1-05070-2}}</ref>

Kovariantin funktorin ''f'' kategoriasta ''C'' kategoriaan ''D'', jolle käytetään merkintää {{nowrap|1=''F'' : ''C'' → ''D''}}, muodostavat:

* jokaista ''C'':n morfismia {{nowrap|1=''f'' : ''x'' → ''y''}} kohti ''D'':n morfismi {{nowrap|1=''F''(''f'') : ''F''(''x'') → ''F''(''y'')}},

* Jokaiselle ''C'':n objektille ''x'' pätee {{nowrap|1=''F''(1_''x'') = 1_''F''(''x'')}};

Lisäksi puhutaan ''kontravarianteista'' funktoreista {{nowrap|1=''F'': ''C'' → ''D''}}. Ne määritellään muutoin samoin kuin kovariantitkin funktorit, paitsi että morfismit on "käännetty toisin päin". Täsmällisemmin sanottuna jokainen ''C'':n morfismi {{nowrap|1=''f'' : ''x'' → ''y''}} on liitettävä johonkin ''D'':n morfismiin {{nowrap|1=''F''(''f'') : ''F''(''y'') → ''F''(''x'')}}.