Ero sivun ”Jana (geometria)” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p →Lähteet: piiloon |
lisää lähteitä ja tekstiä |
||
Rivi 1:
[[Tiedosto:Adcinak.svg|thumb|Jana ''AB'' on muodostettu suorasta päätepisteiden A ja B avulla. Kaikki päätepisteet, ja niiden väliset sisäpisteet (punainen osa), muodostavat yhdessä ''janan AB''.]]
[[File:Triangle with notations 2.svg|thumb|Kolmio, jota rajoittavat janat AB, BC ja AC]]
'''Jana''' on [[geometria]]ssa kahden erillisen [[piste (geometria)|piste]]en [[suora]]sta erottama osa, johon kuuluu kaikki pisteiden väliset suoran pisteet. Erillisiä pisteitä kutsutaan janan ''päätepisteiksi'' ja päätepisteiden välissä olevia pisteitä kutsutaan ''sisäpisteiksi''. Janalla on suoran ominaisuuksia, mutta uutena ominaisuutena sillä on sen [[äärellinen]] [[pituus]].<ref name=LineSegment/>
Suomen matemaattisessa kielessä ''jana'' on varattu suorista erotetuille osille. Jos ympyrän kehältä erottaa kahdella pisteellä kehän osan, kutsutaan sitä [[kaari|kaareksi]], ja jos kaksi pistettä erottaa yleisestä käyrästä osan, voidaan tätä kutsua esimerkiksi ''käyrän osaksi'', mutta ei kuitenkaan janaksi.<ref name=v1/><ref name=v5/>
Esimerkiksi [[monikulmio]]iden reuna rajoittuu [[murtoviiva]]an, joka muodostuu päätepisteistään toisiinsa kytketyistä janoista eli [[sivu (geometria)|sivuista]]. Monikulmion kärjet voidaan yhdistää muihinkin kuin vierekkäisiin kärkiin, jolloin näin syntyviä janoja kutsutaan [[lävistäjä|lävistäjiksi]].<ref name=v22/>
Janaa, joka alkaa pisteestä A ja päättyy pisteeseen B ja jota kutsutaan ''"jana AB"'', merkitään <math>\overline{AB}</math> tai <math>AB</math>. Kirjainten järjestys ei merkitse samalla tavalla suuntaa kuin [[suunnattu jana|suunnatulla janalla]] tai [[vektori]]lla.<ref name=LineSegment/><ref name=v1/><ref name=Line/><ref name=v1/><ref name=v22/>
==Janat geometriassa==
[[antiikin kreikka|Antiikin kreikkalaisten]] geometriassa jana oli määritelty melko kevyesti. [[Euklides]] esitti oppikirjassaan [[Alkeet]] joukon määritelmiä, joista geometrian luonne olisi pitänyt päätellä.<ref name=e1/> Nykymatematiikka tarvitsee kuitenkin tarkempia määritelmiä.
=== Pisteet janalla ===
Pisteet, joiden kaikkien kautta voidaan vetää yksikäsitteinen suora, ovat [[kollineaarisuus|kollineaarisia]]. Kaikki suoran pisteet ovat suoralla, joten ne ovat itseisesti kollineaarisia. Pisteet, jotka erottavat janasta osajanoja, jakavat sen [[murtoviiva]]ksi, jonka janat ovat yhdensuuntaisia alkuperäisen janan kanssa.<ref name=Collinear/>
===Janojen vertailua===
Janan [[pituus]] määritellään yleisen säännön mukaan suurimmaksi [[etäisyys|etäisyydeksi]] <ref name=Distance/> kuvion pisteiden välillä. Suurin pituus löytyy janan päätepisteiden välistä, mikä otetaan janan pituuden määritelmäksi. Kahdella suoralla janalla on sama pituus, jos edellä määritellyt pituudet ovat saman suuruiset. Samanpituisuus voidaan demonstroida siirtämällä ja kääntämällä toinen jana täsmälleen toisen päälle. Jos janojen päätepisteet yhtyvät toisiinsa, ovat janat samanpituisia.<ref name=Length/>
Janojen [[kohtisuoruus]] voidaan todeta mittaamalla janojen kohtaamiskulmat. Jos kulma on 90° eli [[suora kulma|suora]], ovat janat kohtisuorat. Mikäli janat eivät kohtaa toisensa, sijoitetaan janojen päätepisteiden kautta kulkemaan suorat. Jos suorien kohtaamiskulma on suora, ovat janatkin kohtisuorassa. Janojen välinen kulma mitataan samalla tavalla eli käyttämällä päätepisteiden kautta kulkevia suoria.<ref name=OrthogonalLines/><ref name=Perpendicular/>
Kaikki päätepisteiden välissä olevat pisteet ovat janan ''sisäpisteitä''. Niitä voidaan asiayhteydestä riippuen kutsua myös [[Janan jakopiste|jakopisteiksi]]. Analyyttisessä geometriassa sisäpisteen koordinaatit voidaan ilmaista parametrimuotoisella yhtälöparilla:▼
Janojen joukko on samalla tasolla eli ovat [[koplanaarisuus|koplanaarisia]], jos löytyy taso, jolla kaikkien janojen pisteet sijaitsevat.<ref name=Coplanar/>
== Janat koordinaatistossa ==
=== Jana lukusuoralla ===
▲Kaikki janan päätepisteiden välissä olevat pisteet ovat janan ''sisäpisteitä''. Niitä voidaan asiayhteydestä riippuen kutsua myös [[Janan jakopiste|jakopisteiksi]]. Analyyttisessä geometriassa janan sisäpisteen
:<math>x=\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2</math>
missä <math>0<\lambda <1.</math> Arvoilla <math>\lambda =0</math> ja <math>\lambda =1</math> saadaan janan päätepisteet.
=== Jana tasossa ===
Jos tason pisteet ilmaistaan xy-koordinaatistolla, saadaan tason jokaiselle pisteelle <math>P</math> koordinaattipari <math>(x,y).</math> Janan kaikki pisteet voidaan esittää edelliseen tapaan käyttäen lauseketta kummallekin koordinaatille samanaikaisesti
:<math>x=\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2</math>
:<math>y=\lambda y_1 + (1-\lambda)y_2,</math>
missä <math>0
:<math>x=\frac{x_1 + x_2}{2}</math>
:<math>y=\frac{y_1 + y_2}{2}.</math>
=== Jana avaruudessa ===
Avaruudessa eli tilassa käytetään yleisesti kolmea koordinaattia <math>(x,y,z)</math> pisteiden paikan esittämisessä. Janan pisteet voidaan esittää vastaavasti
:<math>x=\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2</math>
:<math>y=\lambda y_1 + (1-\lambda)y_2</math>
:<math>z=\lambda z_1 + (1-\lambda)z_2</math>
missä <math>0 \le \lambda \le 1.</math>
==Lähteet==
Rivi 20 ⟶ 49:
* {{Verkkoviite | osoite =http://users.utu.fi/harju/geometria/geometria2012.pdf | nimeke =Geometrian lyhyt kurssi | tekijä =Harju, Tero | tiedostomuoto =pdf | selite =luentomoniste | ajankohta =2012 | julkaisupaikka = Turun yliopisto | viitattu =14.12.2012 }}
* {{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/LineSegment.html | Nimeke = Line Segment | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}▼
* {{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Line.html | Nimeke = Line | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}▼
* {{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Interval.html | Nimeke = Interval | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}
Rivi 31 ⟶ 56:
===Viitteet===
{{viitteet|viitteet=
<!--* <ref name=e1>D. E. Joyce: [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html Elementa, kirja I], Clakin Yliopisto, 1996</ref> -->▼
* <ref name=v1>Väisälä: Geometria, ss. 1-3</ref>
* <ref name=v22>Väisälä: Geometria, ss. 22-23</ref>
}}▼
▲
▲* <ref name=Line>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Line.html | Nimeke = Line | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
▲* <ref name=LineSegment>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/LineSegment.html | Nimeke = Line Segment | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
* <ref name=Collinear>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Collinear.html | Nimeke = Collinear | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
* <ref name=Coplanar>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Coplanar.html | Nimeke = Coplanar | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
* <ref name=Length>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Length.html | Nimeke = Length | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
* <ref name=Distance>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Distance.html | Nimeke = Distance | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
* <ref name=OrthogonalLines>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalLines.html | Nimeke = Orthogonal Lines | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
* <ref name=Perpendicular>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Perpendicular.html | Nimeke = Perpendicular | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
* <ref name=ParallelLines>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/ParallelLines.html | Nimeke = Parallel Lines | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
▲}}
[[Luokka:Geometria]]
|