Ero sivun ”Thaleen lause” versioiden välillä

8 863 merkkiä lisätty ,  7 vuotta sitten
laajennus
(linkki)
(laajennus)
[[Tiedosto:Thales inscribed angle.gif|thumb|330|Thaleen lause puoliympyrän kehäkulmasta, joka on suora]]
'''Thaleen lause''' on [[geometria]]n lause, jonka mukaan [[ympyrä|puoliympyrä]]n sisältämä [[kehäkulma]] on [[suora kulma|suora]]. Sama voidaan sanoa toisinkin. Jos kolmion yksi [[Sivu (geometria)|sivu]] on ympyrän [[halkaisija]]lla ja yksi [[Kärki (geometria)|kärjistä]] ympyrän [[Kehä (geometria)|kehällä]], on tämä kulma aina suora. Thaleen lause on [[kehäkulmalause]]en erikoistapaus, kun [[keskuskulma]]ksi valitaan oikokulma eli 180°, jolloin kehäkulmaksi tulee 90°.<ref name=ThalesTheorem/><ref name=InscribedAngle/>
 
== Thaleen lauseen todistuskäyttöä ==
=== Ympyrän keskipiste pedaalipisteenä ===
[[File:Triangle (Right) Circumscribed.svg|thumb|left|150px|Ympyrän keskipisteestä sivuille vedetyt normaalit erottavat yhden suorakulmion ja kaksi pienempää, kolmion kanssa yhtenevää, kolmiota.]]
Käyttämällä kolmion sivuja suuntana, voidaan kolmio jakaa janoilla osiin (kuva vasemmalla). Koska kehäpisteessä kulma on suora, syntyy erikoinen tilanne. Halkaisijan [[janan keskipiste|keskipisteestä]], joka on samalla ympyrän keskipiste, vedetään sivuja vasten [[normaali (matematiikka)|normaalit]], jotka osuvat sivujen keskipisteisiin. Tämä vastaa tilannetta, jossa [[pedaalinen piste|pedaalipistettä]] '''O''' vastaavat kolmion sivujen [[kantapiste]]et ovat kolmion [[keskinormaali|keskinormaaleina]]. Kuviosta erottuu [[suorakulmio]] ja kaksi kolmiota. Kolmiot ovat referenssikolmion kanssa [[yhdenmuotoisuus|yhdenmuotoiset]], mutta kooltaan puolet pienempiä.
 
=== Kolmion kulmat ===
[[File:Thales' Theorem.svg|thumb|150px|Kulmat α ja β ovat toistensa komplementtikulmia.]]
Kolmio <math>\scriptstyle \triangle OAB</math> on tasakylkinen kolmio, sillä sivut '''OA''' ja '''OB''' ovat ympyrän säteitä ja siksi yhtäpitkät (kuva oikealla). Silloin kantakulmat <math>\scriptstyle \measuredangle OAB</math> ja <math>\scriptstyle \measuredangle ABO</math> ovat yhtäsuuret. Merkitään ne α. Samasta syystä kolmio <math>\scriptstyle \triangle OBC</math> on tasakylkinen, joten merkitään samansuuruiset kulmat <math>\scriptstyle \measuredangle BCO</math> ja <math>\scriptstyle \measuredangle OBC</math> luvulla β. Kulma <math>\scriptstyle \measuredangle ABC</math> tiedetään suoraksi kulmaksi, joten sen jakavat kulmat ovat komplementtikulmia eli α + β = 90°. Vaikuttaa siltä, että kehäpisteen eri asemat ympyrän kehällä, antavat kaikki molemmille kulmille kaikki kulmamitat 0°−90°.
 
=== Tangentin sivuamispiste ===
[[File:Thales' Theorem Tangents.svg|thumb|left|150px|Ympyrä tangentti on kohtisuorassa sädettä vastaan.]]
Ympyrän ulkopuolisesta pisteestä '''P''' vedetään ympyrälle kaksi tangenttia, jotka sivuavat sitä pisteissä '''T''' ja '''T''''. Thaleen lauseella voidaan löytää sivuamispisteet, kun tiedetään kulmien <math>\scriptstyle \measuredangle PT'O</math> ja <math>\scriptstyle \measuredangle OTP</math> olevan suoria. Etsitään (harpilla ja viivaimella) janan '''OP''' keskipiste '''H''', josta mitataan ympyrän säteeksi '''HP''' tai '''HO'''. Piirretään ympyrä, joka leikkaa alkuperäistä ympyrää kahdessa pisteessä '''T''' ja '''T''''. Näissä pisteissä kulmat ovat suoria,koska ne ovat ympyrän kehällä (Thaleen lause), joten näissä pisteissä sivuavat myös tangentit. Tangentithan ovat kohtisuorassa säteitä vastaan. {{clear}}
 
== Todistus ==
[[Tiedosto:Thales-proof.png|thumb|250px|Thaleen lauseen havainnollistus]]
Seuraavassa todistetaan sekä Thaleen lause että käänteisen Thaleen lauseen tulos.
 
=== Puoliympyrän kolmion on suorakulmainen ===
'''Thaleen lause''': Jos kolmion kaksi kärkeä ovat ympyrän halkaisijan päätepisteet ja kolmas kärki on ympyrän kehällä, on viimeinen kulma suorakulma.
 
Olkoon <math>\scriptstyle \triangle ABC</math> ympyrän sisään piirretty kolmio, missä '''AC''' on ympyrän halkaisija. Olkoon '''O''' tämän ympyrän keskipiste. Piirretään ympyrän säde '''OB'''. Nyt kolmiot <math>\scriptstyle \triangle AOB</math> ja <math>\scriptstyle \triangle BOC</math> ovat tasakylkisiä, sillä kummassakin kolmiossa on sivuinaan kaksi ympyrän sädettä. Siten pätee <math>\scriptstyle \measuredangle CAB = \measuredangle ABO</math>, <math>\scriptstyle \measuredangle BCA = \measuredangle OBC</math> ja <math>\scriptstyle \measuredangle ABC = \measuredangle CAB + \measuredangle BCA</math>. Toisaalta <math>\scriptstyle \measuredangle ABC + \measuredangle CAB + \measuredangle BCA = 180^\circ</math>, joten <math>\scriptstyle \measuredangle ABC = 90^\circ</math>.
 
=== Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on ympyrän halkaisija ===
[[File:Thales' Theorem Converse.svg|thumb|250px|Käänteisen Thaleen lauseen todistuksen konstruktio]]
'''Käänteinen Thaleen lause''': Suorakulmaisen kolmion [[hypotenuusa]] on [[kolmion ympäri piirretty ympyrä|kolmion ympäri piirretyn ympyrän]] halkaisijalla.
 
Piirretään suorakulmaisen kolmion <math>\scriptstyle \triangle ABC</math> viereen sen kanssa [[yhtenevyys|yhtenevä kolmio]] <math>\scriptstyle \triangle CAD</math> siten, että hypotenuusat '''AC''' sivuavat toisensa ja että vastinsivut ('''AB''' ja '''CD''' sekä '''BC''' ja '''AD''') tulevat toistensa vastakkaisille sivuille. Koska vastinsivut ovat nelikulmiossa toisiaan vastapäätä, on muodostunut nelikulmio [[suunnikas]].
 
Suunnikkaassa vastakkaiset kulmat ovat yhtäsuuret ja viereiset kulmat toistensa [[komplementtikulma]]t. Suunnikas muodostettiin suorakulmaisista kolmioista, joten yhdet kulmat (<math>\scriptstyle \measuredangle CBA</math> ja <math>\scriptstyle \measuredangle ADC</math>) ovat suoria kulmia. Koska suoran kulman supplementtikulma on myös suora kulma, on suunnikas lisäksi [[suorakulmio]].
 
Suunnikkaassa [[lävistäjä]]t '''AC''' ja '''BD''' puolittavat toisensa ja suorakulmiossa lävistäjät ovat yhtä pitkät. Silloin lävistäjien puolikkaat ovat kaikki yhtäpitkät. Jos nimitetään lävistäjien leikkauspisteeksi '''O''' ja kaikki neljä lävistäjän puolikasta ('''OA, OB, OC''' ja '''OD''') säteiksi, voidaan piirtää ympyrä, joka ympäröi nelikulmion.
 
Tämän nelikulmion lävistäjä '''AC''' on myös kolmion hypotenuusa, jolla sijaitsee kaksi kehäpistettä '''A''' ja '''C''' ja ympyrän keskipiste '''O'''. Koska hypotenuusa '''AOC''' on suora jana, on se samalla ympyrän halkaisija.{{clear}}
 
=== Thaleen yhdistetty lause ===
Edelliset kaksi todistusta riittävät perusteluiksi seuraavaan Thaleen ja sen käänteiseen lauseeseen:
Kolmion ympäri piirretyn ympyrän halkaisija on yksi kolmion sivuista <br>[[jos ja vain jos]] kolmio on suorakulmainen kolmio.
 
== Historia ==
Thaleen lause liitetään [[antiikki|antiikin]] kreikkalaisen mytologian mukaan [[Thales|Thaleen]] (noin 625 − noin 547 eaa.), joka eli [[Miletos|Miletoksessa]] kauppiaana. Hän on ilmeisesti matkustanut [[Kaksoisvirran maa]]ssa [[kaldea]]laisen hallitsijan [[Nebukadnessar]]in aikana ja on tutustrunut sikäläiseen tähtitieteen taulukoihin ja instrumentteihin. Hän on hämmästyttänyt maanmiehiään esittämällä erilaisia teoreemoja, jotka hän on perustellut pätevästi. Teoreemojen joukossa on perimätiedon mukaan ollut myös puoliympyrän sisään muodostova suora kulma.<ref name=pen2/><ref name=boyer80/>
 
Tämä tieto ei kuitenkaan keksitty [[Helleenit|esihelleenisessä]] kreikassa, vaan se tunnettiin yli 1&nbsp;000 vuotta aikaisemmin [[babylonia|babylonialaisessa]] matematiikassa. Heidän savitauluistaan, joita kirjoitettiin [[nuolenpääkirjoitus|nuolenpäämerkeillä]], on löydetty tästä aiheesta laskutehtäviä. Intialaiset omaksuivat Thaleen lauseen heiltä.<ref>de Laet, Siegfried J. (1996). ''History of Humanity: Scientific and Cultural Development''. [[UNESCO]], Volume 3, p. 14. ISBN 92-3-102812-X</ref> Egyptiläisten jäljelle jääneistä papyruksista tätä ongelmaa ei ole löydetty. <ref name=boyer74/> [[Eukleides]] käsitteli lausetta kirjassaan [[Alkeet]] (III kirja, 31. väite).<ref name=e98/>
 
== Lähteet ==
=== Viitteet ===
{{viitteet|viitteet=
* <ref name=ThalesTheorem>{{Verkkoviite | Osoite= http://mathworld.wolfram.com/ThalesTheorem.html |Nimeke = Thales' Theorem | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
 
* <ref name=InscribedAngle>{{Verkkoviite | Osoite= http://mathworld.wolfram.com/InscribedAngle.html |Nimeke = Inscribed Angle | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
 
* <ref name=pen2>{{Kirjaviite| Nimeke = The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | Julkaisija = Penguin Group | Vuosi = 1991| Tekijä = Wells, David | Sivut =2 | Julkaisupaikka = Englanti | Isbn =0-14-011813-6 | Viitattu =10.5.2013 | Kieli = {{en}} }}</ref>
'''[[Thales|Thaleen]] lause''' on alkeis[[geometria]]n lause. Sen mukaan [[puoliympyrä]]n sisältämä [[kehäkulma]] on [[suora]].
 
* <ref name=boyer74>{{Kirjaviite | Tekijä =Boyer, Carl | Nimeke =Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II | Suomentaja =Pietiläinen, Kimmo | Vuosi =1994 | Sivut=74 | Julkaisupaikka =Juva | Julkaisija =Art House | Tunniste =ISBN 951-884-159-4 | Viitattu = 1.6.2013 }}</ref>
== Thaleen lauseen todistus ==
Olkoon ABC ympyrän sisään piirretty kolmio, missä AC on ympyrän halkaisija. Olkoon O tämän ympyrän keskipiste. Piirretään ympyrän säde OB.
 
* <ref name=boyer80>{{Kirjaviite | Tekijä =Boyer, Carl | Nimeke =Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II | Suomentaja =Pietiläinen, Kimmo | Vuosi =1994 | Sivut=80-81 | Julkaisupaikka =Juva | Julkaisija =Art House | Tunniste =ISBN 951-884-159-4 | Viitattu = 1.6.2013 }}</ref>
Nyt kolmiot AOB ja BOC ovat tasakylkisiä, sillä kummassakin kolmiossa on sivuinaan kaksi ympyrän sädettä. Siten pätee ∠CAB=∠ABO, ∠BCA=∠OBC ja ∠ABC = ∠CAB + ∠BCA. Toisaalta ∠ABC + ∠CAB + ∠BCA = 180°, joten ∠ABC = 90°. [[M.O.T.]]
 
* <ref name=e98>Fitzpatrick, Richard & Heiberg, J.L.:[http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf Euclid's Elements in English and Greek] (PDF), s. 98 (utexas.edu)</ref>
Thaleen lausetta yleisempi lause on [[kehäkulmalause]], jonka mukaan ympyrän kehäkulma on puolet [[keskuskulma]]n suuruudesta.
}}
 
== Aiheesta muualla ==
{{Commons-rivi|Thales' theorem|Thaleen lause}}
{{tynkä/Matematiikka}}
 
[[Luokka:Geometria]]
153 954

muokkausta