Avaa päävalikko

Muutokset

360 merkkiä poistettu ,  6 vuotta sitten
ei muokkausyhteenvetoa
Koska hyperbolisessa geometriassa voidaan suoran ulkopuolisen pisteen kautta piirtää useampi kyseisen suoran kanssa [[yhdensuuntaisuus|yhdensuuntainen]] suora, ei [[euklidinen geometria|euklidisen geometrian]] [[paralleeliaksiooma]] ole voimassa. Tästä seuraa, että monet eukidisessa geometriassa yhdensuuntaisille suorille tunnetut asiat eivät päde hyperbolisessa geometriassa. Muun muassa suorien ''m'' ja ''n'' ei täydy olla yhdensuuntaisia keskenään, vaikka ne olisivat molemmat yhdensuuntaisia suoran ''l'' kanssa. Lisäksi suorasta ''l'' vakioetäisyydellä olevat pisteet eivät muodosta suoraa hyperbolisessa geometriassa.
 
Euklidisessa geometriassa kaikki etäisyydet yhdensuuntaisten suorien väliset etäisyysjanat <math>\lVert BP \rVert</math> välilläovat kertookohtisuorassa ettäeli kulmiensuoran ja etäisyys janan välinen summakulma on 90°. Hyberpolisessa geometriassa kulmien välinen summasuuruus vaihtelee.Silloin kun kantojen etäisyys suurenee lähenee kulmien välinen summa 90° ,ja taas etäisyyden pienentyessä se lähenee 0°.Lähestyessään 90° alkaa kulma käyttäytyä samanlailla kuin eulidisessa geometriassa.Pienissä asteikoissa katsojan on vaikeaa onko ympäristö eukliidinen vai hyperbolinen.
 
==Kolmiot==
.Jos suorakulmaisessa kolmiossa ''a'' ja ''b'' ovat kantojakateetteja ja ''c'' hypotenuusa, niin hyperbolisessa etäisyyden mittauksessageometriassa:
 
:: <math>\cosh c=\cosh a\cosh b\,.</math>
 
missä funktio''cosh'' on [[hyperbolinen funktio]],minkä vastine on [[trigonometria]]ssa ''cos'' funktio.Kaikilla [[Trigonometrinen funktio|trigonometrisillä funktioilla]] on vastaavat funktiot hyperbolisessa geometriassa.HyperbolisessaEuklidisen kolmiossageometrian päteetuloksille trigonometriseton lauseetolemassa vastineet hyperbolisessa geometriassa.Tästä voidaanOlkoon hyperbolisethyperbolisen kolmion sivute "a", "b" ja "c" ja niitä vastaavat kulmat "A", "B" ja "C". vinojenSilloin kolmioidenon kaavat:voimassa
[[Sinilause]]:
 
:: <math>\tan A=\frac{\tanh a}{\,\sinh b\,}.\,</math>
 
EuklidisetEuklidisissa kolmioissa on kulmien summa π(=180°)[[Radiaani|radiaaneissa]],mutta hyperbolisessa kolmioissa kulmien summa on aina alle π.Hyperbolisessa geometriassgeometriassa ideaali kolmionksikolmioksi kutsutaan kolmiota, jonka kulmien summa on 0°.
 
Euklidiset kolmioissa on kulmien summa π(=180°)[[Radiaani|radiaaneissa]],mutta hyperbolisessa kolmioissa kulmien summa on aina alle π.Hyperbolisessa geometriass ideaali kolmionksi kutsutaan kolmiota, jonka kulmien summa on 0°.
 
== Ympyrät,levyt ja pallot ==
:<math>4\pi R^2 \sinh^2 \frac{r}{R} \,.</math>
 
Kun halutaan ''(n-1)''-ulotteinen pallon mitta, missä ''n'' on pallomaisen ympäristön [[Ulottuvuus|ulottovuus]]
 
:<math>\Omega_{n} R^{n-1} \sinh^{n-1} \frac{r}{R} \,</math>
 
,missä
missä [[avaruuskulma]](Omega) voidaan laskea ''n'' ympäristössä
 
:<math> \Omega_{n}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left (\frac{n}{2} \right )} \,</math>
 
laskemalla aukija <math>\Gamma \,</math> on [[gammafunktio]]ssa saadaan suljetun ''n''-ulotteisen kuulan mitta
 
Suljetun ''n''-ulotteisen kuulan mitta:
 
:<math>\Omega_{n} R^{n-1} \int_0^r \sinh^{n-1} \frac{r}{R}dr \,.</math>
16

muokkausta