Ero sivun ”Ääriarvo” versioiden välillä

[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa
Ei muokkausyhteenvetoa
Rivi 1:
Matematiikassa [[funktio]]n '''ääriarvo''' on funktion arvo sellaisessa pisteessä, että tämän pisteen jossakin ympäristössä olevissa pisteissä funktion arvo on aina joko suurempi tai yhtä suuri (maksimi) tai pienempi tai yhtä suuri (minimi) kuin ääriarvo. Ääriarvot voivat olla funktion maksimeja tai minimejä. Ääriarvot voivat olla paikallisia eli lokaaleja tai yleisiä eli globaaleja ääriarvoja. Jos funktio on [[derivaatta|derivoituva]], on ääriarvokohdissa funktion [[gradienttiderivaatta]] 0.
 
== Paikallinen ääriarvominimi ==
 
Funktion ''f'' paikallinen (lokaali) [[minimi]] välillä <math> [a,b] </math> on <math> x^* \Leftrightarrow \exists \delta>0: f(x^*)\leq f(x) \quad \forall x \in [a,b]\cap \{x\in \R | \left| x-x^* \right|<\delta\}</math>
Olkoon funktiolle <math>f: D_f \rightarrow \mathbb{R}</math> olemassa pisteessä <math>c \in D_f</math> paikallinen ääriarvo.
 
Funktion ''f'' paikallinen (lokaali) [[minimi]] välillä <math>[a,b]</math> on <math>x^*</math> jos ja vain jos ehto <math>f(x^*)\leq f(x)</math> toteutuu kaikilla <math>x</math> , jotka kuuluvat väliin <math>[a,b]</math> ja ovat pisteen <math>x^*</math> lähellä.
Jos jollakin <math> \delta > 0\ </math> ja kaikilla reaalisilla ''x'' on tosi, että
 
:<math>(c - \delta, c+\delta) \subset D_f </math>,
== Paikallinen maksimi ==
niin kyseessä voi olla paikallinen maksimi, jos
 
:<math> 0 < | x - c | < \delta\ \implies f(x) \leq f(c)\ </math>,
Funktion ''f'' paikallinen (lokaali) [[maksimi]] välillä <math> [a,b] </math> on <math> x^* \Leftrightarrow \exists \delta>0: f(x^*)\geq f(x) \quad \forall x \in [a,b]\cap \{x\in \R | \left| x-x^* \right|<\delta\}</math>
tai paikallinen minimi, jos
 
:<math> 0 < |x -c| < \delta\ \implies f(x) \geq f(c)\ </math>.
Funktion ''f'' paikallinen (lokaali) [[maksimi]] välillä <math>[a,b]</math> on <math>x^*</math> jos ja vain jos ehto <math>f(x^*)\geq f(x)</math> toteutuu kaikilla <math>x</math> , jotka kuuluvat väliin <math>[a,b]</math> ja ovat pisteen <math>x^*</math> lähellä.
 
== Globaali minimi ==
Funktion ''f'' (globaali) minimi on <math>x^* \Leftrightarrow f(x^*)\leq f(x) \forall x</math>
 
Minimi on siis funktion kaikkein pienin arvo.
 
== Globaali maksimi ==
Funktion ''f'' (globaali) minimi on <math>x^* \Leftrightarrow f(x^*)\geq f(x) \forall x</math>
 
Maksimi on siis funktion kaikkein suurin arvo.
 
==Ääriarvolaiseita==
 
Funktiolla voi olla ääriarvokohta (ns. kriittiset pisteet)
* derivaatan nollakohdissa
* suljetun välin päätepisteissä
* epäjatkuvuuskohdissa
* kohdissa, joissa derivaatta ei ole olemassa
 
Jatkuvalla funktiolla on suljetulla välillä suurin ja pienin arvo.
 
Jos funktiolla on suurin arvo, se on yksi maksimeista. Jos funktiolla on pienin arvo, se on yksi minimeistä.
 
Piste muuttuu [[oleellinen ääriarvo|oleelliseksi ääriarvoksi]], jos yhtäsuuruus [[epäyhtälö]]issa ei ole voimassa. Edellisessä esimerkissä kyseessä on [[epäoleellinen ääriarvo]]. <ref>Pitkäranta: TKK:n Laaja Matematiikka 1. Helsinki, 2009.</ref>
 
==Katso myös==