Avaa päävalikko

Muutokset

Ei muutosta koossa ,  6 vuotta sitten
p
 
Annetun joukon ''X'' kaikkiin alkioihin kohdistuvien kaikkien symmetria­operaatioiden joukkoa voidaan mallintaa [[ryhmäoperaatio]]lla ''g'' : ''G'' × ''X'' → ''X'', missä ''g'' on ryhmään ''G'' kuuluva operaatio, ja ''x'':n kuva ''X'':ssä merkitään ''g''·''x''.
Jos jollakin ''g'':llä pätee ''g''.·''x'' = ''y'', sanotaan ''x'':n ja ''y'':n olevan symmetrisiä toisiinsa nähden.
Jokaista alkiota ''x'' kohti ne operaatiot ''g'', joille pätee ''g''.·''x'' = ''x'', muodostavat [[ryhmä (algebra)|ryhmän]], alkion [[symmetriaryhmä]]n, joka on ''G'':n [[aliryhmä]].
Jos symmetriaryhmä ''x'' on triviaali ryhmä, jossa on vain [[neutraalialkio]], ''x'':n sanotaan olevan ''asymmetrinen'', muussa tapauksessa ''symmetrinen''.
 
[[Vektoriavaruus|Vektoriavaruuden]] tapauksessa trans­latio­naalinen symmetria ei kuitenkaan merkitse heijastus­symmetriaa: funktion arvo on vakio, mutta jos siihen sisältyy muitakin kuin [[nollavektori]], ei ole heijastus­symmetriaa. Jos myös heijastus­symmetria esiintyy, vakio­funktio ei sisällä muita vektoreita kuin nolla­vektorin, mutta sillä voi olla nollasta poikkeavia [[pseudovektori|pseudo­vektoreita]]. Tällaisen kolmi­ulotteisen esimerkin muodostaa ääretön [[lieriö]], jossa on sen akselia vastaan kohtisuora [[sähkövirta]]; [[magneettikenttä]], joka on pseudo­vektori, on lieriön suuntainen ja vakio, mutta ei nolla. Vektorit, erityisesti [[virrantiheys]], ovat symmetrisiä jokaisen tason suhteen, joka on kohti­suorassa lieriötä vastaan, ja myös sylinteri­symmetriset. Tämä sylinteri­symmetria ilman symmetria­tasoja on ainoa mahdollinen tämän symmetria­ominaisuuden määrittämässä vektori­kentässä. Vastaavanlaisen esimerkin muodostaa akselinsa ympäri pyörivä sylinteri, jolloin magneetti­kenttää ja virran­tieheyttä vastaavat [[kulmanopeus]] ja [[nopeus]].
 
Symmetriaryhmän sanotaan vaikuttavan johonkin kohteen toistuvaan ominaisuuteen ''transitiivisesti'', jos jokaista tämän ominaisuuden esiintymien paria kohti on olemassa symmetria­operaatio, joka kuvaa näistä ensimmäsien toiselle. Esimerkiksi yhdessä ulottuvuudessa joukon {…, 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 14, …} symmetria­ryhmä vaikuttaa transitiivisesti kaikkiin tämän joukon pisteisiin, kun taas joukossa {…, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, …} näin ei ole asian laita.
 
===Symmetriset funktiot===
4 238

muokkausta