89 487
muokkausta
Muutokset
laajennettu pääasiassa engl. Wikipediasta kääntämällä. Joitakin kappaleita yhä kääntämättä; joidenkin termien suomennokset vielä tarkistettava.
{{Yhteistyöartikkeli}}
[[Tiedosto:Asymmetric (PSF).svg|right|thumb|upright=0.8|Vasemmalla symmetrinen, oikealla epäsymmetrinen kuvio]]
[[Tiedosto:Sphere symmetry group o.svg|thumb|upright=0.8|Pallosymmetrinen ryhmä o.]]
[[Tiedosto:Studio del Corpo Umano - Leonardo da Vinci.png|right|thumb|upright=0.8|[[Leonardo da Vinci]]n ''[[Vitruviuksen mies]]tä'' (noin vuodelta 1487)
käytetään usein osoituksena ihmisruumiin ja laajemaassa mielessä myös luonollisen maailman symmetriasta.]]
[[Tiedosto:Great Mosque of Kairouan, west portico of the courtyard.jpg|right|thumb|upright=0.8|Symmetrisiä arkadeja [[Kairouan]]in suuressa moskeijassa [[Tunisia]]ssa]]
'''Symmetria''' merkitsee tasasuhtaisuutta, kokonaisuuden eri osien välistä yhdenmukaisuutta.
<ref name=Aikio>{{kirjaviite | Tekijä = Annukka Aikio | Nimeke = Uusi sivistyssanakirja | Sivu = 586 | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1975 | Tunniste = ISBN 951-1-00944-3}}</ref>
Laajemmassa merkityksessä symmetria voi tarkoittaa sopusuhtaista ja kaunista suhdetta ja tasapainoa.
<ref>{{kirjaviite|Tekijä = Roger Penrose|Nimeke = Fearful Symmetry|Julkaisija = Princeton|Vuosi = 2007 | Tunniste = ISBN 978-0-691-13482-6}}</ref><ref name="classical001">Esimerkiksi [[Aristoteles]] väitti taivaankappaleiden olevan pallon muotoisia, koska pallo mahdollisimman symmetrisenä muotona oli ainoa sopiva muoto täydellisessä kosmoksessa</ref> Täsmällisemmässä matemaattisessa merkityksessä symmetrialla tarkoitetaan jonkin kokonaisuuden eri osien yhtäläisyyttä, joka voidaan osoittaa jossakin muodollisessa järjestelmässä kuten [[geometria]]ssa tai [[fysiikka|fysiikassa]].
Sana symmetria johtuu kreikan kielen sanoista συμμετρεῖν (symmetrein), joka merkitsee [[yhteismitallisuus|yhteismitallisuutta]].<ref name=Aikio />
Vaikka nämä kaksi merkitystä voidaan erottaa toisistaan, ne liittyvät läheisesti toisiinsa, minkä vuoksi tässä artikkelissa käsitellään molempia.
<ref name="classical001" /><ref>[[#Weyl 1982|Weyl 1982]]</ref>
Matemaattinen symmetria voidaan havaita
* suhteessa kuluvaan [[aika]]an;
* [[avaruus|avaruudellisissa]] suhteissa;
* geometrisissa muunnoksissa kuten [[mittakaava]]n muutoksessa, [[peilaus|peilauksessa]] ja [[rotaatio (geometria)|rotaatiossa]];
* muunlaisissa funktionaalisissa muunnoksissa;<ref>esimerkiksi sellaiset toimenpiteet kuin siirtyminen säännöllisesti laatoitettua lattiaa pitkin tai kahdeksankulmaisen [[maljakko|maljakon]] pyörittäminen, yhtälön mutkikkaat muuunnokset tai tapa, jolla musiikkia soitetaan</ref> ja
* piirteenä [[abstraktio]]käsitteissä, tieteellisessä [[mallintaminen|mallintamisessa]], [[kieli|kielessä]], [[musiikki|musiikissa]] ja [[tieto|tiedossa]] itsessäänkin.<ref name="Mainzer000">{{kirjaviite | Tekijä = Klaus Mainzer | Nimeke = Symmetry And Complexity: The Spirit and Beauty of Nonlinear Science | Julkaisija = World Scientific | Vuosi = 2005 | Tunniste = ISBN 981-256-192-7}}</ref> Symmetrinen kohde voi olla aineellinen, kuten henkilö, [[kide]], vuodepeite, lattialaatoitus tai [[molekyyli]], tai abstrakti käsite kuten matemaattinen [[yhtälö]] tai sävelkulku musiikissa.
Tämä artikkeli käsittelee symmetriakäsitteitä neljältä näkökannalta. Ensimmäinen on symmetria [[geometria]]ssa, joka on monille henkilöille tutuin symmetrian muoto. Toinen on symmetrian yleisempi merkitys koko [[matematiikka|matematiikassa]]. Kolmas käsittelee symmetriaa sellaisena kuin se esiintyy [[tiede|tieteessä]] ja [[teknologia]]ssa. Tässä mielessä symmetria liittyy modernin [[fysiikka|fysiikan]] syvällisimpiin tuloksiin, myös käsityksiin [[aika|ajasta]] ja [[avaruus|avaruudesta]]. Neljäs näkökohta liittyy symmetriaan [[humanistiset tieteet|humanistisilla]] aloilla ja käsittelee sen rikasta ja monimuotoista käyttöä [[historia]]ssa, [[arkkitehtuuri]]ssa, [[taide|taiteessa]] ja [[uskonto|uskonnossa]].
Symmetrian vastakohta on [[asymmetria]].
==Symmetria geometriassa==
Monille ihmisille tutuin symmetrian muoto on geometrinen symmetria. Kuvion tai kappaleen geometrinen symmetria merkitsee sitä, että on olemassa joukko geometrisia [[kuvaus|kuvauksia]], jotka säilyttävät kuvion kappaleen ennallaan. Nämä kuvaukset muodostavat aina jonkin algebrallisen [[ryhmä (matematiikka)|ryhmän]], jota sanotaan kuvion tai kappaleen ''symmetriaryhmäksi''. Kappaleen symmetriaryhmän määrittelee se, missä eri muunnoksissa se säilyy muuttumattomana.
Tärkeitä geometrisia kuvauksia ovat erityisesti [[yhtenevyys]]kuvaukset eli [[isometria]]t, joita ovat [[peilaus|peilaukset]], [[rotaatio]]t, [[translaatio]]t ja näistä yhdistetyt kuvaukset.<ref name="Higher dimensional group theory'">[http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm `Higher dimensional group theory']</ref>
===Peilisymmetria===
[[Tiedosto:Simetria-reflexion.svg|right|200px|]]
[[Tiedosto:Simetria-bilateria.svg|thumb | right | 200px | Bilateraalisesti symmetrinen perhonen]]
Usein symmetrialla tarkoitetaan nimenomaan ''peilisymmetria'' eli bilateraalista symmetriaa, joka merkitsee symmetriaa [[peilaus|peilauksen]] suhteen.
Kohdetta, joka on yhtäläinen [[peilikuva]]nsa kanssa, sanotaan peilisymmetriseksi. Yksiulotteisella peilisymmetrisellä kohteella on ''symmetriakeskus'', kaksiulotteisella ''symmetria-akseli'' ja kolmiulotteisella ''symmetriataso''.
Kaksiulotteisen kuvion symmetria-akseli on sellainen suora, että jos sille piirretään normaali, mitkä tahansa kaksi pistettä, jotka ovat tällä normaalilla yhtä etäällä symmetria-akselista, joko kuuluvat molemmat kyseiseen kuvioon tai kumpikaan ei siihen kuulu. Toinen tapa käsittää asia on, että jos kuvio taitetaan akselia pitkin, molemmat puoliskot ovat samanlaiset; ne ovat toistensa peilikuvia. Niinpä [[neliö]]llä on neljä symmetria-akselia, koska on neljä tapaa taittaa se niin, että kaikki sivut sattuvat kohdalleen. [[Ympyrä]]llä on vastaavasta syystä äärettömän monta symmetria-akselia; jokainen sen keskipisteen kautta kulkeva suora on sen symmetria-akseli. Jos [[kolmio]]lla on symmetria-akseli, se on [[tasakylkinen kolmio|tasakylkinen]].
=== Symmetriakeskus ja muut involutiiviset symmetriat ===
Peilisymmetrian yleistyksinä voidaan pitää muita ''mm''-ulotteisen avaruuden [[isometria|isometrioita]], jotka ovat [[involuutio]]ita, kuten
:(''x''<sub>1</sub>, … ''x''<sub>''m''</sub>) ↦ (−''x''<sub>1</sub>, … −''x''<sub>''k''</sub>, ''x''<sub>''k''+1</sub>, … ''x''<sub>''m''</sub>)
jossakin [[karteesinen koordinaatisto|karteesisessa koordinaatistossa]]. Tämä peilaa avaruuden jonkin ''m''-''k'' -ulotteisen [[affiini aliavaruus|affiinin aliavaruuden]] suhteen.
Jos ''k''=''m'', tällaista muunnosta sanotaan [[peilaus|peilaukseksi]] pisteen suhteen, joka [[taso]]ssa (''m=2'') on sama kuin 180 asteen [[rotaatio]].
Tällainen "peilaus" säilyttää [[orientaatio]]n, jos ja vain jos ''k'' on parillinen. Tästä seuraa, että kolmiulotteisen avaruuden peilauksessa pisteen suhteen orientaatio ei säily, vaan vasen ja oikea vaihtuvat saman tapaan kuin peilikuvassa. Tästä syystä fysiikassa termiä ''P-symmetria'' käytetään viittaamaan sekä symmetriaa pisteen että tason suhteen; P tulee sanasta [[pariteetti]].
Piste, jonka suhteen peilattaessa jokin kuvio pysyy ennallaan, on tämän kuvion ''symmetriakeskus''. Esimerkiksi [[suunnikas|suunnikkailla]] on symmetriakeskus, joka on sen lävistäjien leikkauspiste.
===Pyörähdyssymmetria===
[[Tiedosto:Simetria-rotacion.svg|right|200px|]]
Pyörähdyssymmetria on symmetriaa kaikkien tai joidenkin [[rotaatio]]iden suhteen ''m''-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Rotaatiot ovat ''suoria isometrioita'', toisin sanoen niissä [[orientaatio]] säilyy. Tämän vuoksi rotaatiosymmetrian symmetriaryhmä on jokin [[SE(3)|E<sup>+</sup>(''m'')]]:n aliryhmä.
[[Pyörähdyskappale]] on kappale, joka on symmetrinen kaikkien tietyn akselin ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Esimerkiksi [[kartio]] ja [[lieriö]] ovat pyörähdyskappaleita.
Tasokuviosta [[ympyrä]] on symmetrinen kaikkien sen keskipisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Jokainen [[Säännöllinen monikulmio|säännöllinen n-kulmio]] on symmetrinen sellaisten sen keskipisteen ympäri rotaatioiden suhteen, joissa kiertokulma on 360°/n tai jokin tämän monikerta.
Jos jokin asia on symmetrinen kaikkien, minkä tahansa pisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen, se on myös symmetrinen kaikkien siirtojen suhteen, minkä vuoksi symmetriaryhmä on koko E<sup>+</sup>(''m''). Tällaisia kappaleita ei ole, koska ne täyttäisivät koko avaruuden, mutta tällainen symmetria on monilla fysikaalisilla laeilla.
Kun kohde on symmetrinen jonkin pisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen, tämä piste voidaan valita origoksi. Nämä rotaatiot muodostavat [[spesiaalinen ortogonaalinen ryhmä|spesiaalisen ortogonaalisen ryhmän]] SO(''m''), joka on isomorfinen sellaisten [[ortogonaalinen matriisi|ortogonaalisten]] ''m'' × ''m''-[[matriisi]]en ryhmän kanssa, joiden
[[determinantti]] on 1. Kun ''m''=3, kyseessä on rotaatioryhmä [[SO(3)]].
Fysiikan lait ovat SO(3)-symmetrisiä, jos ne eivät tee eroa avaruuden eri suuntien välillä. [[Noetherin teoreema]]n mukaan fysikaalisen systeemin pyörähdyssymmetria on yhtäpitävä [[impulssimomentti|impulssimomentin]] säilymislain kanssa.
===Siirtosymmetria ===
Siirtosymmetria eli translationaalinen symmetria merkitsee sitä, että kohde pysyy ennallaan joko kaikissa tai joissakin avaruuden [[translaatio (matematiikka)|translaatioissa]]
<math>\scriptstyle T_a(p) \;=\; p \,+\, a</math>.
===Liukuheijastussymmetria===
[[Tiedosto:Simetria-antitraslacional.svg|right|200px|]]
[[Liukuheijastus]]symmetria (kolmessa ulottuvuudessa liukutasosymmetria) merkitsee sitä, että peilaus suoran tai tason suhteen yhdistettynä siirtoon tätä suoraa tai tasoa pitkin tuottaa tuloksena alkuperäisen kohteen. Jos kohteella on tällainen symmetria, se on myös siirtosymmetrinen sellaisen translaation suhteen, jossa siirtovektori on kaksinkertainen. Symmetriaryhmä on [[isomorfia|isomorfinen]] [[kokonaisluku]]jen joukon <math>\mathbb{Z}</math> kanssa.
===Rotorefleksiosymmetria===
[[Tiedosto:Simetria-rotoreflexion.svg|right|200px|]]
Kolmessa ulottuvuudessa rotorefleksio eli [[epäaito rotaatio]] merkitsee rotaatiota jonkin akselin ympäri yhdistettynä peilaukseen jonkin sitä vastaan kohtisuoran tason suhteen, johon tämä akseli sisältyy. Tällaisen rotorefleksion symmetriaryhmä on eri tapauksissa erilainen: se voi olla joko:
*jos kulmalla ei ole yhteistä tekijää 360°:n kanssa, symmetriaryhmä ei ole diskreetti
*2''n''-kertainen rotorefleksion (kiertokulma 180°/''n'') symmetriaryhmä on ''S''<sub>2''n''</sub> (ei sama kuin [[symmetrinen ryhmä]], jolle käytetään myös samaa merkintää; abstrakti ryhmä ''C<sub>2n</sub>''); erikoistapauksena kun ''n''=1 on kyseessä peilaus pisteen suhteen, sillä tulos ei tällöin riipu akselista eikä tasosta, ainoastaan niiden leikkauspisteestä
*''C<sub>nh</sub>'' (kiertokulma 360°/''n''); kun ''n'' on pariton, tuloksena on yksinkertainen symmetria, ja abstrakti ryhmä on ''C''<sub>2''n''</sub>.
Jos taas ''n'' on parillinen, tämä ei ole perustava symmetria vaan yhdistelmä.
===Kierteinen symmetria===
[[Tiedosto:Simetria-helicoidal.svg|right|200px|]]
[[Kierre|Kierteinen]] eli helikaalinen symmetria on monilla tutuilla esineillä kuten [[kierrejousi|kierrejousilla]], [[pora]]nterillä ja [[ruuvi|ruuveilla]].
Symmetriaoperaation muodostaa tällöin rotaatio akselin ympäri yhdistettynä tietyn suuruiseen siirtoon tätä akselia pitkin. Tämä voidaan ajatella saatavan aikaan kun se siirtyy tätä akselia pitkin tasaisella nopeudella. Joka hetki näiden liikkeiden välillä on vakiona pysyvä kulma, kiertokulma, jonka mukaan kohteen ominaisuudet tarkemmin määräytyvät. Jos kulmanopeus on suuri ja etenemisnopeus pieni, kiertokulma on lähellä nollaa, Jos taas pyöriminen on hidasta ja eteneminen nopeaa, kiertokulma on lähellä 90 astetta.
Kiertokulman ja akselin suuntaisten siirtosymmetrioiden perusteella voidaan erottaa kolme erityyppistä kierteistä symmetriaa:
;Ääretön kierteinen symmetria: Jos kierteisen kappaleen poikkileikkaus missä tahansa kohdassa on samanlainen, sillä on ääretön kierteinen symmetria. Esimerkkeinä ovat tyypilliset kierrejouset ja poranterät.
;n-kertainen kierteinen symmetria: Jos lievennetään ehtoa, että kappaleen poikkileikkauksen on oltava joka kohdassa samanlainen, voidaan määritellä muita lievempiä kierteisiä symmetrioita. Esimerkiksi kappaleen poikkileikkaus voi vaihdella muodoltaan mutta toistua
samanlaisena aina, kun akselia pitkin edetään tietyn suuruinen välimatka. Tämän seurauksena symmetria ilmenee, kun kappaletta kierretään tietyn kulman θ verarn ja samalla siirretään akselin suunnassa tietyn matkan verran. Jos tämä kulma θ on 360 astetta jaettuna jollakin kokonaisluvulla, tulos on säännöllisen monikulmion kierteinen vastine. Tätä sanotaan ''n-kertaiseksi
kierteiseksi symmetriaksi''. Käsitettä voidaan edelleen yleistää siten, että θ on jokin täyden kierroksen eli 360°:n monikerta; tällöin on tehtävä useampi täysi kierros, ennen kuin kappale palautuu ennalleen.
;ei-toistuva kierteinen symmetria: Tämä saadaan, jos kiertokulma, joka tarvitaan symmetrian toteamiseksi, on [[irrationaaliluku|irrationaalinen]]. Tällöin kierto ei koskaan toistu täysin samanlaisena, kierrettiinpä kappaletta akselinsa ympäri kuinka monta kertaa tahansa.
===Ei-isometriset symmetriat===
Geometrisen symmetrian määritelmää voidaan laajentaa niin, että se käsittää muitakin kuin euklidiset isometriat. Esimerkkejä laajemmista geometrisista symmetriaryhmistä ovat;
*[[yhdenmuotoisuus]]kuvaukset, toisin sanoen [[affiini kuvaus|affiinit kuvaukset]], joita esittävä
[[matriisi]] {''A''} on [[ortogonaalinen matriisi]] kerrottuna jollakin skalaarilla. Jos siis [[homotetia]] lisätään, [[itsesimilaarinen|itsesimilaarisuus]] on symmetria.
*Niiden affiinien kuvausten ryhmä, joiden matriisin determinantti on 1 tai 1; toisin sanoen kuvaukset, joissa pinta-ala säilyy.
*Kaikkien bijektiivisten affiinikuvausten ryhmä
*[[Möbius-kuvaus]]ten ryhmä, joissa [[kaksoissuhde]] säilyy.
[[Felix Klein]]in [[Erlangenin ohjelma]]ssa jokainen mahdollinen symmetriaryhmä määrittelee geometrian, jossa kohteet, jotka jokin symmetriaryhmän alkio yhdistää toisiinsa, katsotaan yhtäläisiksi. Esimerkiksi euklidinen ryhmä määrittelee [[euklidinen geometria|euklidisen geometrian]], kun taas Möbius-kuvausten ryhmä määrittelee [[projektiivinen geometria|projektiivisen geometrian]].
===Skaalasymmetria ja fraktaalit===
Skaalasymmetria viittaa käsitykseen, että jos kappaleen kokoa suurennetaan tai pienennetään, tuloksena saadulla kappaleella on samat ominaisuudet kuin alkuperäisellä. Skaalasymmetriasta on huomattava, että useimmilla fysikaalilla systeemeillä sitä ei ole, mihin ensimmäisenä kiinnitti huomionsa [[Galileo Galilei]]. Esimerkkinä skaalasymmetrian puuttumisesta voidaan mainita, että erikokoisilla eläimillä, esimerkiksi [[elefantti|elefanteilla]] ja [[hiiri]]llä raajojen suhteellinen osuus eläimen massasta ja niiden voimakkuus on aivan erilainen, samoin se seikka, että jos pehmeästä vahasta valmistettu kynttilä tetäisiin suuren puun kokoiseksi, se luhistuisi välittömästi oman painonsa vuoksi.
Skaalasymmetriaa kuitenkin voidaan havainnollistaa [[fraktaali|fraktaaleilla]]. [[Benoit Mandelbrot]] määritteli fraktaalin matemaattiseksi olioksi, joka näyttää samankaltaiselta tai jopa täysin samanlaiselta riippumatta siitä, kuinka suurella [[suurennus|suurennuksella]] sitä katsotaan. [[Rantaviiva]] on usein mainittu esimerkki luonnossa esiintyvästä fraktaalista,
sillä se näyttää jokseenkin yhtä mutkikkaalta kaikilla tasoilla, katsottinpa sitä satelliittikuvasta tai tutkimalla mikroskoopilla, miten vesi työntyy yksittäisten hiekanjyvästen väliin. Samaan tapaan puiden pienet oksat ovat muodoltaan usein ikään kuin kokonaisen puun pienoismalleja. Matemaattisesti merkittävämpi esimerkki fraktaalista on [[Mandelbrotin joukko]]. Fraktaalit ovat saaneet huomattavan merkityksen myös [[tietokonegrafiikka|tietokonegrafiikassa]].
==Symmetria matematiikassa==
[[Tiedosto:Simmetria1.jpg|thumb|Matemaattisilla olioilla voi olla hyvin monimutkaisia symmetrioita.]]
Matemaattisen objektin sanotaan olevan symmetrinen jonkin matemaattisen operaation suhteen, jos tässä operaatiossa jokin objektin ominaisuus säilyy. Operaatiot, jotka säilyttävät jonkin tietyn ominaisuuden, muodostavat aina [[ryhmä (algebra)|ryhmän]]. Kaksi eri objektia ovat keskenään symmetrisiä jonkin operaatioiden ryhmän suhteen, jos kumpikin niistä saadaan toisistaan
jollakin näistä operaatioista.
Symmetriaryhmiä käytetään erityisesti [[kvantti]][[kemia]]n, [[spektroskopia]]n, [[kristallografia]]n ja [[hiukkasfysiikka|hiukkasfysiikan]] tutkimuksessa. Symmetrian matemaattisia ominaisuuksia käsitellään [[ryhmäteoria]]ssa.
=== Symmetrian matemaattinen malli ===
Annetun joukon ''X'' kaikkiin alkioihin kohdistuvien kaikkien symmetriaoperaatioiden joukkoa voidaan mallintaa [[ryhmäoperaatio]]lla ''g'' : ''G'' × ''X'' → ''X'', missä ''g'' on ryhmään ''G'' kuuluva operaatio, ja ''x'':n kuva ''X'':ssä merkitään ''g''·''x''.
Jos jollakin ''g'':llä pätee ''g''.''x'' = ''y'', sanotaan ''x'':n ja ''y'':n olevan symmetrisiä toisiinsa nähden.
Jokaista alkiota ''x'' kohti ne operaatiot ''g'', joille pätee ''g''.''x'' = ''x'', muodostavat [[ryhmä (algebra)|ryhmän]], alkion [[symmetriaryhmä]]n, joka on ''G'':n [[aliryhmä]].
Jos symmetriaryhmä ''x'' on triviaali ryhmä, jossa on vain [[neutraalialkio]], ''x'':n sanotaan olevan ''asymmetrinen'', muussa tapauksessa ''symmetrinen''.
{{käännettävä}}
<!--
A general example is that ''G'' is a group of bijections ''g'': ''V'' ? ''V'' acting on the set of functions ''x'': ''V'' ? ''W''
by (''gx'')(''v'') = ''x''[''g''<sup>-1</sup>(''v'')] (or a restricted set of such functions that is closed under
the group action). Thus a group of bijections of space induces a group action on "objects" in it.
The symmetry group of ''x'' consists of all ''g'' for which ''x''(''v'') = ''x''[''g''(''v'')] for all ''v''.
''G'' is the symmetry group of the space itself, and of any object that is uniform throughout space.
Some subgroups of ''G'' may not be the symmetry group of any object. For example, if the group contains for every ''v'' and ''w'' in ''V'' a ''g'' such that ''g''(''v'') = ''w'', then only the symmetry groups of constant functions ''x'' contain that group. However, the symmetry group of constant functions is ''G'' itself.
In a modified version for [[vector field]]s, we have (''gx'')(''v'') = ''h''(''g'', ''x''[''g''<sup>-1</sup>(''v'')]) where ''h'' rotates any vectors and pseudovectors in ''x'', and inverts any vectors (but not pseudovectors) according to rotation and inversion in ''g'', see [[symmetry in physics]]. The symmetry group of ''x'' consists of all ''g'' for which ''x''(''v'') = ''h''(''g'', ''x''[''g''(''v'')]) for all ''v''. In this case the symmetry group of a constant function may be a proper subgroup of ''G'': a constant vector has only rotational symmetry with respect to rotation about an axis if that axis is in the direction of the vector, and only inversion symmetry if it is zero.
For a common notion of symmetry in [[Euclidean space]], ''G'' is the [[Euclidean group]] ''E''(''n''), the group of [[isometry|isometries]], and ''V'' is the Euclidean space. The '''rotation group''' of an object is the symmetry group if ''G'' is restricted to ''E''<sup>+</sup>(''n''), the group of direct isometries. (For generalizations, see the next
subsection.) Objects can be modeled as functions ''x'', of which a value may represent a selection of properties such as color, density, chemical composition, etc. Depending on the selection we consider just symmetries of sets of points (''x'' is just a [[Boolean function]] of position ''v''), or, at the other extreme; e.g., symmetry of right and left hand with all their structure.
-->
Annetussa symmetriaryhmässä kohteen osan ominaisuudet määrittävä koko kohteen. Jos katsotaan [[ekvivalenssirelaatio|ekvivalenteiksi]] ne pisteet, joilla on symmetrian vuoksi samat ominaisuudet, [[ekvivalenssiluokka|ekvivalenssiluokkia]] ovat koko avaruuden ryhmäoperaation radat. Koko kohteen määrittämiseksi on vain tiedettävä ''x'':n arvo jokaisen radan yhdessä pisteessä.
<!--
For a given symmetry group, the properties of part of the object, fully define the whole object. Considering points
[[Equivalence relation|equivalent]] which, due to the symmetry, have the same properties, the [[equivalence class]]es
are the [[Point stabilizer|orbits]] of the group action on the space itself. We need the value of ''x'' at one point
in every orbit to define the full object. A set of such representatives forms a [[fundamental domain]]. The smallest
fundamental domain does not have a symmetry; in this sense, one can say that symmetry relies upon [[asymmetry]].
An object with a desired symmetry can be produced by choosing for every orbit a single function value. Starting from a given object ''x'' we can, e.g.:
* Take the values in a fundamental domain (i.e., add copies of the object).
* Take for each orbit some kind of average or sum of the values of ''x'' at the points of the orbit (ditto, where the copies may overlap).
If it is desired to have no more symmetry than that in the symmetry group, then the object to be copied should be asymmetric.
As pointed out above, some groups of isometries are not the symmetry group of any object, except in the modified model for vector fields.
For example, this applies in 1D for the group of all translations.
The fundamental domain is only one point, so we can not make it asymmetric, so any "pattern" invariant under translation is also invariant under reflection (these are the uniform "patterns").
-->
[[Vektoriavaruus|Vektoriavaruuden]] tapauksessa translationaalinen symmetria ei kuitenkaan merkitse heijastussymmetriaa: funktion arvo on vakio, mutta jos siihen sisältyy muitakin kuin [[nollavektori]], ei ole heijastussymmetriaa. Jos myös heijastussymmetria esiintyy, vakiofunktio ei sisällä muita vektoreita kuin nollavektorin, mutta sillä voi olla nollasta poikkeavia [[pseudovektori|pseudovektoreita]]. Tällaisen kolmiulotteisen esimerkin muodostaa ääretön [[lieriö]], jossa on sen akselia vastaan kohtisuora [[sähkövirta]]; [[magneettikenttä]], joka on pseudovektori, on lieriön suuntainen ja vakio, mutta ei nolla. Vektorit, erityisesti [[virrantiheys]], ovat symmetrisiä jokaisen tason suhteen, joka on kohtisuorassa lieriötä vastaan, ja myös sylinterisymmetriset. Tämä sylinterisymmetria ilman symmetriatasoja on ainoa mahdollinen tämän symmetriaominaisuuden määrittämässä vektorikentässä. Vastaavanlaisen esimerkin muodostaa akselinsa ympäri pyörivä sylinteri, jolloin magneettikenttää ja virrantieheyttä vastaavat [[kulmanopeus]] ja [[nopeus]].
Symmetriaryhmän sanotaan vaikuttavan johonkin kohteen toistuvaan ominaisuuteen ''transitiivisesti'', jos jokaista tämän ominaisuuden esiintymien paria kohti on olemassa symmetriaoperaatio, joka kuvaa näistä ensimmäsien toiselle. Esimerkiksi yhdessä ulottuvuudessa joukon {…, 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 14, …} symmetriaryhmä vaikuttaa transitiivisesti kaikkiin tämän joukon pisteisiin, kun taas joukossa {…, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, …} näin ei ole asian laita.
===Symmetriset funktiot===
Symmetrinen funktio on funktio, joka pysyy ennallaan kaikissa sen muuttujien [[permutaatio]]issa. Esimerkiksi ''x'' + ''y'' + ''z'' ja ''xy'' + ''yz'' + ''xz'' ovat symmetrisiä funktioita, kun taas ''x''<sup>2</sup> - ''yz'' ei ole. Kokonais- tai reaalilukujen [[yhteenlasku|yhteen]]- ja [[kertolasku]] samoin kuin muutkin eri [[algebrallinen struktuuri|algebrallisissa struktuureissa]]
määritellyt [[vaihdannaisuus|vaihdannaiset]] [[laskutoimitus|laskutoimitukset]] ovat symmetrisiä funktioita.
Funktio saattaa myös pysyä ennalleen niissä muunnoksissa, jotka kuuluvat johonkin sen argumenttien [[permutaatioryhmä]]n [[aliryhmä]]än. Esimerkiksi ''ac'' + 3''ab'' + ''bc'' pysyy ennallaan, jos ''a'' ja ''b'' vaihdetaan keskenään; sen symmetriaryhmä on isomorfinen C<sub>2</sub>:n kanssa.
===Logiikassa===
Kaksipaikkaista [[relaatio]]ta eli [[binäärirelaatio]]ta ''R'' sanotaan symmetriseksi, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavan ehdon:<br>
aina jos ''Rab'', on myös ''Rba, eli jos ''a'' on relaatiossa ''b'':n kanssa, on myös ''b'' relaatiossa ''a'':n kanssa.<br>
Esimerkiksi relaatio "on samman ikäinen kuin" on symmetrinen, sillä jos Pauli on samanikäinen kuin Mari, on myös Mari samanikäinen kuin Pauli. Sen sijaan relaatio "on vanhempi kuin" ei ole symmetrinen, sillä henkilöt eivät voi molemmat olla toisiaan vanhempia.
Symmetrisiä binäärisiä [[looginen konnektiivi|loogisia konnektiiveja]] ovat [[konjunktio (logiikka)|konjunktio]] ("ja"), [[disjunktio]] (''tai''), looginen ekvivalenssi ("[[jos ja vain jos]]"), "ei molemmat" ([[NAND]]), poissulkeva tai ([[XOR]]) ja "ei.. eikä.." ([[NOR]]).
==Tieteessä ja luonnossa==
===Fysiikassa===
Fysiikassa symmetrian käsitettä on yleistetty merkitsemään [[invarianssi]]a eli kohteen pysymistä muuttumattomina tietyn tyyppisissä muunnoksissa, esimerkiksi yleisissä koordinaatiston muunnoksissa. Käsite on tullut yhdeksi fysiikan käyttökelpoisimmista työkaluista, sillä on käynyt ilmi, että lähes kaikki luonnonlait perustuvat symmetrioihin. Itse asiassa tämä seikka sai Nobelin palkinnon saaneen [[Philip Warren Anderson]]in vuonna 1972 kirjoittamaan lajaalti luetussa artikkelissaan ''More is Different'', että "on vain vähän liioiteltua sanoa, että fysiikka on oppi symmetriasta."
[[Noetherin teoreema]] osoittaa yksinkertaistetusti sanottuna, että jokaista jatkuvaa matemaattista symmetriaa kohti on olemassa jotakin fysikaalista [[suure]]tta koskeva [[säilymislaki]]. Samaan tapaan [[Eugner Wigner|Wignerin]] mukaan jokainen fysiikan lakien symmetria määrittelee jonkin luonnossa esiintyvän hiukkasen ominaisuudet.
===Fyysiset kappaleet===
====Klassiset kappaleet====
Vaikka jokin tavanomainen kappale saattaa näyttää aivan samanlaiselta jonkin symmetriaoperaation kuten rotaation tai kahden identtisen osan keskenään vaihtamisen jälkeen, on kuitenkin ilmeistä, että sellainen symmetria pätee vain likimäärin, olipa kyseessä mikä kappale tahansa.
Jos esimerkiksi koneen tarkasti valmistamaa alumiinista [[tasasivuinen kolmio|tasasivuista kolmiota]] kierretään 120 astetta keskipisteensä ympäri, tavallinen havaitsija, joka saapuu paikalle ennen kiertoa ja uudestaan sen jälkeen, ei voisi havaita, onko kierto suoritettu vai ei. Todellisuudessa sen kukin kulma on kuitenkin aina ainutlaatuinen, jos sitä tutkitaan riittävän tarkasti. Havaitsija, jolla olisi mukanaan tarpeeksi tarkka mittausväline kuten [[mikroskooppi|optinen]] tai [[elektronimikroskooppi]] toteaisi asian helposti; hän havaitsi heti, että esineen asentoa on vaihdettu tarkkailemalla sen yksityiskohtia kuten [[kiderakenne]]tta ja pieniä muodon epäsäännöllisyyksiä.
Tällainen [[ajatuskoe]] osoittaa, että tavanomaisten fyysisten esineiden symmetrioissa on aina kysymys likimääräisestä samankaltaisuudesta eikä tarkasta matemaattisesta yhtäläisyydestä. Tärkein seuraus tästä symmetrioiden likimääräisestä luonteesta on, että niillä on vain vähän tai ei lainkaan vaikutusta sellaisten kappaleiden fysiikkaan. Näin ollen vain vain syvällisemmällä avaruuden ja ajan symmetrialla on oleellista merkitystä [[klassinen fysiikka|klassisessa fysiikassa]], tosin sanoen suurten, tavanomaisten kappaleiden fysiikassa.
====Kvanttifysikaaliset kappaleet ====
Huomattavaa kuitenkin on, että on olemassa fysiikan osa-alue, jossa todellisten kappaleiden yksinkertaiset matemaattiset symmetriat eivät ole vain likimääräisiä. Näin on laita [[kvanttifysiikka|kvanttifysiikassa]], joka pääasiassa on hyvin pienten ja hyvin yksinkertaisten kohteiden kuten [[elektroni]]en, [[protoni]]en, [[valo]]n ja [[atomi]]en fysiikkaa.
Toisin kuin jokapäiväisestä elämästä tutuilla kohteilla, esimerkiksi [[elektroni|elektroneilla]] on vain hyvin rajoitettu määrä mahdollisia olotiloja, joita sanotaan [[kvanttitila|kvanttitiloiksi]]. Tämä merkitsee, että jos niihin kohdistetaan symmetriaoperaatioita kuten kahden elektronin paikkojen vaihtaminen keskenään, tuloksena saatua olotilaa ei voida erottaa alkuperäisestä, tutkittiinpa sitä kuinka tarkkaan tahansa. Tämän vuoksi tarpeeksi pienille ja yksinkertaisille kohteille yleinen matemaattinen symmetriaoletus ''F''(''x'') = ''x'' ei enää ole likimääräinen vaan kokeellisesti tarkka ja täsmällinen kuvaus todellisesta tilanteesta.
====Kvanttisymmetrian seurauksia====
Vaikka on järkevää olettaa, että symmetriat ovat eksakteja, kun on kysymys hyvin yksinkertaisista kohteista, väitön intuitio on, että tämän seikan ei pitäisi vaikuttaa kohteiden fysiikkaan millään merkittävällä tavalla. Tämä johtuu osittain siitä, että on hyvin vaikea käsittää todellisten fyysisten kappaleiden täydellistä yhtäläisyyttä. Intuitiivinen mielikuvamme sellaista tilanteista on säännöllisesti sama, jota sovellamme suurempiin kohteisiin: kuvittelemme kappaleet tai rakenteet hyvin, hyvin samanlaisiksi, kuitenkin siten, että jos voisimme tarkatella vielä lähempää, voisimme lopulta havaita eroja.
Kuitenkin oletus, että hyvin pienten kohteiden täydellinen symmetria ei vaikuttaisi niiden fysiikkaan, osoittautui 1900-luvun alkupuolella täysin vääräksi. Tilanteesta teki hyvän yhteenvedon [[Richard Feynman]] luentosarjansa ''[[Feynman Lectures on Physics]] III osan kohdassa 3.4, ''Identical particles'', joka kuitenkin jätettiin pois, kun luennot julkaistiin kirjana.
{{quote|… jos jossakin fysikaalisessa tilanteessa on mahdotonta tietää, mitä kautta se tapahtui, se ''aina'' interferoi''; tämä ''ei koskaan'' jää tapahtumatta.}}
[[Interferenssi]]llä tarkoitetaan tässä sitä, että sellaiset kohteet kuuluvat [[kvanttimekaniikka|kvanttimekaniikan]] alaan, jossa ne muistuttavat enemmänkin interferoivia [[aalto]]ja kuin tavanomaisia suuria kappaleita.
Lyhyesti, jos kohde on niin yksinkertainen, että jokin symmetriaoletus muotoa ''F(x) = x'' pitää täsmällisesti paikkansa, ''x'' ei enää noudata [[klassinen fysiikka|klassisen fysiikan]] sääntöjä, vaan sitä on mallinnettava [[kvanttimekaniikka|kvanttimekaniikan]] monimutkaisemmilla ja yleensä enemmän intuition vastaisilla säännöillä.
Tämä siirtymä tarjoaa samalla merkittävän näkymän siihen, miksi symmetrian matematiikka kytkeytyy niin syvällisellä tavalla kvanttimekaniikan matematiikkaan. Kun fysikaaliset systeemit siirtyvät likimääräisten symmetrioiden alueelta täsmällisten symmetrioiden alueelle, symmetrioiden matemaattiset ilmaisut lakkaavat olemasta likiarvoja ja muuttuvat kyseistenn kohdeiden luonteen
täsmällisiksi määritelmiksi. Tästä eteenpäin kohteet liittyvät niin läheisesti matemaattisiin kuvauksiinsa, että näitä kahta on vaikea erottaa toisistaan.
{{käännettävä}}
<!--
===Generalizations of symmetry===
If we have a given set of objects with some structure, then it is possible for a symmetry to merely convert only one object into another, instead of acting upon all possible objects simultaneously. This requires a generalization from the concept of [[symmetry group]] to that of a [[groupoid]]. Indeed, A. [[Connes]] in his book "[[Non-commutative geometry]]" writes that Heisenberg discovered quantum mechanics by considering the groupoid of transitions of the hydrogen spectrum.
The notion of groupoid also leads to notions of multiple groupoids, namely sets with many compatible groupoid structures, a structure which trivialises to abelian groups if one restricts to groups. This leads to prospects of ''higher order symmetry'' which have been a little explored, as follows.
The automorphisms of a set, or a set with some structure, form a group, which models a homotopy 1-type. The automorphisms of a group ''G'' naturally form a [[crossed module]] <math>\scriptstyle G \;\to\; \mathrm{Aut}(G)</math>, and crossed modules give an algebraic model of homotopy 2-types. At the next stage, automorphisms of a crossed module fit into a structure known as a crossed square, and this structure is known to give an algebraic model of homotopy 3-types. It is not known how this procedure of generalising symmetry may be continued, although crossed ''n''-cubes have been defined and used in algebraic topology, and these structures are only slowly being brought into theoretical physics.<ref name="Higher dimensional group theory'"/><ref>[http://golem.ph.utexas.edu/category/ n-category cafe] – discussion of ''n''-groups</ref>
Physicists have come up with other directions of generalization, such as [[supersymmetry]] and [[quantum group]]s, yet the different options are indistinguishable during various circumstances.
-->
=== Biologiassa ===
Symmetrialla on merkitys myös biologiassa. Monet eläimet, myös ihmiset, ovat ainakin likipitäen bilateraalisesti symmetrisiä eli vasen-oikea-symmetrisiä. Esimerkiksi [[Kädelliset|kädellisillä]] on tutkittu symmetrian merkitystä [[parinvalinta|parinvalinnassa]].<ref>{{Verkkoviite | Osoite = http://www.tiede.fi/uutiset/3251/viehattavat_kasvot_vihjaavat_paljon | Nimeke = Viehättävät kasvot vihjaavat paljon| Tekijä = | Tiedostomuoto = | Selite = | Julkaisu = Tiede| Ajankohta = 9.5.2008| Julkaisupaikka = | Julkaisija = | Viitattu = 5.4.2013 | Kieli = }}</ref> Toisaalta esimerkiksi [[meritähdet|meritähti]]en symmetria saattaa olla viisi- tai kahdeksanparista.
Useimpien kasvien [[lehti (kasvitiede)|lehdet]] ovat myös bilateraalisesti symmetrisiä. Monet [[kukka|kukat]] ovat likipitäen säteittäisesti symmetrisiä, toisin sanoen symmetrisiä sellaisten [[rotaatio (geometria)|rotaatioiden]] suhteen, joissa kiertokulma on 360° jaettuna kukan [[terälehti]]en lukumäärällä tai jokin tämän kulman monikerta.
===Kemiassa===
Symmetria on tärkeä myös [[kemia]]sa, koska se selittää monet [[spektroskopia]]n, [[kvanttikemia]]n ja [[kiderakenne|kiderakenteiden]] tutkimuksen havainnot.
==Historiassa, uskonnossa ja kulttuurissa==
[[Tiedosto:HMF Duerer Gruenewald Harrich Heller-Altar DSC 6312.jpg|thumb|[[Renessanssin taide|Renessanssin taiteessa]] symmetrialla oli keskeinen merkitys.]]
Jokaisessa inhimillisessä pyrimyksessä, jossa tavoitellaan vaikuttavaa näkyvää tulosta, symmetrialla on syvällinen merkitys. Synnynnäinen mieltymys symmetriaan voidaan havaita reaktioistamme suuresti symmetrisiin luonnon kohteisiin kuten täydellisesti muodostuneisiin [[kide|kiteisiin]] tai kauniisti kiertyneisiin [[simpukka|simpukankuoriin]]. Ensimmäinen reaktiomme löytäessämme sellaisen kohteen on usein olettaa, että kyseessä on toisen ihmisen aikaansaannos, mikä pian vaihtuu yllättävään toteamukseen, että huomiota herättävät symmetriat ovatkin luonnon tuotteita.
===Sosiaalisessa vuorovaikutuksessa===
Ihmiset havaitsevat monissa tilanteissa sosiaalisen vuorovaikutuksen symmetrisen luonteen, johon usein kuitenkin liittyy myös epäsymmetristä tasapainoa. Esimerkkeinä ovat arviot [[vastavuoroisuus|vastavuoroisuudesta]], [[empatia]]sta, [[anteeksipyyntö|anteeksipyynnöstä]],
[[dialogi]]sta, [[kunnioitus|kunnioituksesta]], [[oikeus|oikeudesta]] ja [[kosto]]sta. Symmetriset vuorovaikutukset lähettävät viestin "olemme kaikki samaa", kun taas asymmetriset vuorovaikutukset lähettävät viestin "Minä olen erikoinen, parempi kuin sinä." Tasavertaiset ihmissuhteet perustuvat symmetriaan, valtasuhteet asymmetriaan.<ref>[http://www.emotionalcompetency.com/symmetry.htm Emotional Competency] Entry describing Symmetry</ref>
===Arkkitehtuurissa===
[[Tiedosto:Isfahan Lotfollah mosque ceiling symmetric.jpg|right|250px|thumb|[[Lotfollahin moskeija]]n katto [[Isfahan]]issa, [[Iran]]issa on kahdeksankertaisesti rotaatiosymmetrinen, ja sillä on myös kahdeksan symmetria-akselia.]]
[[Tiedosto:Lightmatter pisa.jpg|thumb|left|upright|Pisan kalteva torni]]
[[Tiedosto:Taj Mahal, Agra views from around (85).JPG|right|thumb|Taj Mahal on bilateraalisesti symmetrinen.]]
Toinen inhimillinen toiminta, jossa tuloksen ulkonäöllä on suuri merkitys, on [[arkkitehtuuri]]. Sekä entisinä että nykyaikana suurten rakenteiden tarkoitus on usein tehdä vaikutus ne näkeviin ihmisiin tai jopa säikähdyttää heitä, ja tällaisen tavoitteen saavuttaminen edellyttää yleensä symmetrian käyttöä.
Muutamia esimerkkejä muinaisajan arkkitehtuurista, jossa symmetriaa käytetiin voimakkaan vaikutuksen aikaansaamiseksi, ovat [[Egyptin pyramidit]], [[Ateena]]n [[Parthenon]], ensimmäinen ja toinen [[Jerusalemin temppeli]], Kiinan [[Kielletty kaupunki]], [[Kamputsea]]mn [[Angkor Wat]] -rakennusryhmä sekä [[esikolumbiaaniset kulttuurit|esikolumbiaanisten kulttuurien]] monet temppelit
ja pyramidit. Myöhäisemmältä ajalta voidaan mainita [[goottilainen tyyli|goottilaiset]] katedraalit sekä Yhdysvaltain presidentti [[Thomas Jefferson]]in auintalo [[Monticello]]. [[Taj Mahal]] on myös hyvä esimerkki symmetriasta arkkitehtuurissa.<ref>[http://books.google.fr/books?id=Dk-xS6nABrYC&pg=PA269&dq=taj+mahal+example+of+symmetry&hl=fr&sa=X&ei=oB7jT_PsMoLntQbfubnBBg&ved=0CGQQ6AEwCA#v=onepage&q=taj%20mahal%20example%20of%20symmetry&f=false Gregory Neil Derry (2002), ''What Science Is and How It Works'', Princeton University Press, p. 269]</ref>
Mielenkiintoinen esimerkki rikkoutuneesta symmetriasta arkkitehtuurissa on [[Pisan kalteva torni]], jonka kuuluisuus ei johdu mistään sen pienestä osasta eikä sen alun perin tarkoitetusta symmetriasta vaan symmetrian rikkoutumisesta sen kääntyessä kallelleen jo rakennusvaiheessaan. Nykyaikaisia esimerkkejä arkkitehtuurista, joka tekee vaikutuksen mutkikaalla erilaisten symmetrioiden käytöstä, ovat [[Sydneyn oopperatalo]] [[Australia]]ssa ja yksinkertaisempi [[Astrodome]] [[Houston]]issa, [[Texas]]issa.
Symmetria löytää tiensä arkkitehtuuriin niin suuressa kuin pienessäkin mittakaavassa, alkaen rakennusten yleisnäkymistä ulkoa päin katsottuna sekä [[pohjapiirros|pohjapiirroksista]] aina rakennusten pieniin yksityiskohtiin saakka kuten [[ovi]]en peileihin, ikkunoiden [[lasimaalaus|lasimaalauksiin]], lattialaatoituksiin, [[friisi (arkkitehtuuri)|friiseihin]], [[porras|portaikkoihin]] ja [[balusteri|balustereihin]]. Eritasoisten symmetrioiden käytössä [[islam]]ilainen arkkitehtuuri, josta Taj Mahal on hyvä esimerkki, menee usein paljon pidemmälle kuin minkään muun kulttuurin ja aikakauden aikaansaannokset osittain siitä syystä, koska islam kieltää ihmisten ja eläinten kuvaamisen.<ref>[http://members.tripod.com/vismath/kim/ Williams: Symmetry in Architecture]</ref>
<ref>[http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/math-art-arch.shtml Aslaksen: Mathematics in Art and Architecture]</ref>
===Savi- ja metalliastioissa===
[[Tiedosto:Sialk pot.jpg|thumb|Persialainen astia (neljänneltä vuosituhannelta eKr.)]]
Siitä lähtien, kun savenvalajan pyörää ensimmäisen kerran alettiin käyttää saviastioiden muotoilemiseen, symmetrialla on ollut [[keramiikka|keramiikassa]] tärkeä osuus. Ensinnäkin pyörällä valmistetut saviastiat väistämättä saavat pyörähdyssymmetrisen muodon, mutta jättävät suuren vapauden muotoilla esine pystysuorassa suunnassa halutulla tavalla. Tästä alkuperäisestä symmetrisestä lähtökohdasta kulttuureilla on muinaisista ajoista saakka ollut taipumus lisätä kuviointeja, jotka käyttävät hyväkseen tai monessa tapauksessa rajoittavat täydellistä pyörähdyssymmetriaa, kunnes jokin tietty ulkomuoto on saavutettu. Esimerkiksi [[persia]]laisissa saviastioissa neljänneltä vuosituhannelta eKr ja aikaisemminkin käytettiin symmetrisiä siksak-kuvioita, neliöitä ja toistuvia kuvioita mutkikkaamman ja visuaalisesti hämmästyttävän kokonaismuotoilun aikaansaamiseksi.
Metallista valetuilla astioilla ei ole samaa valmistustavasta johtuvaa alkuperäistä pyörähdyssymmetriaa kuin pyörän avulla valmistetuilla saviastioilla, mutta muutoin nekin on varhaisista ajoista saakka koristeltu kuvioilla, jotka miellyttivät niiden käyttäjiä. Esimerkiksi muinaiset [[kiinalaiset]] käyttivät symmetrisiä kuviointeja [[pronssi]]valussa jo 1600-luvulla eKr. Pronssiastioissa esiintyy sekä bilateraalinen pääaihe että toistuvia kuvioita niiden reunoissa.<ref>[http://www.chinavoc.com/arts/handicraft/bronze.htm Chinavoc: The Art of Chinese Bronzes]</ref><ref>[http://www-oi.uchicago.edu/OI/MUS/VOL/NN_SUM94/NN_Sum94.html Grant: Iranian Pottery in the Oriental Institute]</ref><ref>[http://www.metmuseum.org/collections/department.asp?dep=14 The Metropolitan Museum of Art – Islamic Art]</ref>
<!--
===In quilts===
As [[quilt]]s are made from square blocks (usually 9, 16, or 25 pieces to a block) with each smaller piece usually consisting
of fabric triangles, the craft lends itself readily to the application of symmetry.
<ref>[http://its.guilford.k12.nc.us/webquests/quilts/quilts.htm Quate: Exploring Geometry Through Quilts]</ref>
-->
===Matoissa ja ryijyissä===
[[Tiedosto:Farsh1.jpg|thumb|300px|right|Persialainen matto]]
Symmetrian käytöllä [[matto|matoissa]] ja [[ryijy]]issä on monissa kulttuureissa pitkät perinteet. [[Navajot]] käyttivät sekä diagonaalisia että suorakulmaisia aiheita. Monissa [[itämainen matto|itämaisissa matoissa]] on selvä symmetriakeskus ja niiden reunoilla toistuu säännöllinen kuviointi. Mattojen suorakulmaisen muodon vuoksi ei ole yllättävää, että niissä tyypillisesti käytetään
kvadrilateraalista symmetriaa, toisin sanoen niiden kuviot ovat symmetriset sekä pitkittäisen että poikittaisen akselin suhteen.<ref>[http://www.marlamallett.com/default.htm Mallet: Tribal Oriental Rugs]</ref><ref>[http://navajocentral.org/rugs.htm Dilucchio: Navajo Rugs]</ref>
===Musiikissa===
<imagemap>
Tiedosto:Major and minor triads.png|300px|thumb|right|<span style="color:red;">Duuri-</span> ja <span style="color:blue;">molli</span>kolmisoinnut pianon valkoisilla koskettimilla ovat symmetriset D:n suhteen. Katso [[sävellaji]].<small>[[:File:Major and minor triads.png|<span style="color:#aaa;">(file)</span>]]</small>
poly 35 442 35 544 179 493 [[molli|A-mollikolmisoinnun pohjasävel]]
poly 479 462 446 493 479 526 513 492 [[molli|A-mollikolmisoinnun terssi]]
poly 841 472 782 493 840 514 821 494 [[molli|A-mollikolmisoinnun kvintti]]
poly 926 442 875 460 906 493 873 525 926 545 [[molli|A-mollikolmisoinnun kvintti]]
poly 417 442 417 544 468 525 437 493 469 459 [[duuri|C-duurikolmisoinnun pohjasävel]]
poly 502 472 522 493 502 514 560 493 [[duuri|C-duurikolmisoinnun pohjasävel]]
poly 863 462 830 493 863 525 895 493 [[duuri|C-duurikolmisoinnun terssi]]
poly 1303 442 1160 493 1304 544 [[duuri|C-duurikolmisoinnun kvintti]]
poly 280 406 264 413 282 419 275 413 [[molli|E-mollikolmisoinnun kvintti]]
poly 308 397 293 403 301 412 294 423 309 428 [[molli|E-mollikolmisoinnun kvintti]]
poly 844 397 844 428 886 413 [[molli|E-mollikolmisoinnun pohjasävel]]
poly 1240 404 1230 412 1239 422 1250 412 [[molli|E-mollikolmisoinnun terssi]]
poly 289 404 279 413 288 422 300 413 [[duuri|G-duurikolmisoinnun terssi]]
poly 689 398 646 413 689 429 [[duuri|G-duurikolmisoinnun kvintti]]
poly 1221 397 1222 429 1237 423 1228 414 1237 403 [[duuri|G-duurikolmisoinnun pohjasävel]]
poly 1249 406 1254 413 1249 418 1265 413 [[duuri|G-duurikolmisoinnun kvintti]]
poly 89 567 73 573 90 579 86 573 [[molli|D-mollikolmisoinnun kvintti]]
poly 117 558 102 563 111 572 102 583 118 589 [[molli|D-mollikolmisoinnun kvintti]]
poly 650 558 650 589 693 573 [[molli|D-mollikolmisoinnun pohjasävel]]
poly 1050 563 1040 574 1050 582 1061 574 [[molli|D-mollikolmisoinnun terssi]]
poly 98 565 88 573 98 583 110 574 [[duuri|F-duurikolmisoinnun terssi]]
poly 498 558 455 573 498 589 [[duuri|F-duurikolmisoinnun kvintti]]
poly 1031 557 1031 589 1047 583 1038 574 1046 563 [[duuri|F-duurikolmisoinnun pohjasävel]]
poly 1075 573 1059 580 1064 573 1058 567 [[duuri|F-duurikolmisoinnun pohjasävel]]
desc none
</imagemap>
Symmetria ei rajoitu kuvataiteeseen. Sen merkitys [[musiikki|musiikissa]] liittyy moniin näkökohtiin musiikin luomisessa ja kuuntelemisessa.
====Musiikin muodot ====
Monet säveltäjät ovat käyttäneet tietyllä tavalla symmetrisiä [[sävellysmuoto]]ja, joita voidaan kuvata esimerkiksi kaaviolla ABCBA. Sellaista ovat käyttäneet [[Steve Reich]], [[Béla Bartók]] ja [[James Tenney]]. Klassisessa musiikissa [[Johann Sebastian Bach|Bach]] käytti symmetriakäsitteitä kuten permutaatiota ja invarianssia.<ref>katso ("Fuuga No. 21," [http://jan.ucc.nau.edu/~tas3/wtc/ii21s.pdf pdf] tai [http://jan.ucc.nau.edu/~tas3/wtc/ii21.html Shockwave])</ref>
====Sävelasteikkojen rakenteet====
Symmetria liittyy huomattavalla tavalla myös musikaalisten [[sävelasteikko|sävelasteikkojen]] ja [[sointu]]jen muodostumiseen. Perinteinen [[tonaalisuus|tonaalinen musiikki]] kuitenkin perustuu epäsymmetriseen [[diatoninen asteikko|diatoniseen asteikkoon ja niin ikään epäsymmetrisiin [[duuri]]- ja [[molli]][[kolmisointu]]ihin. Symmetristen asteikkojen ja sointujen kuten [[kokosävelasteikko|kokosävelasteikon]], [[ylinouseva kolmisointu|ylinousevan kolmisoinnun]] ja [[vähennetty nelisointu|vähennetyn nelisoinnun]] sanotaan olevan vailla selvää suuntaa ja etenevää liikettä. Niistä ei ilmene [[sävellaji]]n [[perussävel]] eli tonaalinen keskus. Kuitenkin säveltäjät kuten [[Alban Berg]], [[Béla Bartók]] ja [[George Perle]] ovat käyttäneet symmetria-akseleita tai intervallien muodostamia syklejä.
Perle selitti asian vuonna 1992 näin: "C-E, D-G ja Es-G ovat saman [[intervalli]]n eri esiintymiä. … toisenalainen identeetti … liittyy symmetria-akseleihin.
C-E kuuluu symmetrisessä suhteessa toisiinsa olevien dyadien perheeseen seuraavasti:"
{|
|-
|D
|
|Dis
|
|'''E'''
|
|F
|
|Fis
|
|G
|
|Gis
|-
|D
|
|Cis
|
|'''C'''
|
|H
|
|Ais
|
|A
|
|G?
|}
Niinpä sen lisäksi, että C-E kuuluu neljästä puoliaskelesta kuuluvien intervallien perheeseen, se kuuluu myös summa-4 -perheeseen (missä C on 0).
{|
|rowspan=3|+
|2
|
|3
|
|'''4'''
|
|5
|
|6
|
|7
|
|8
|-
|2
|
|1
|
|'''0'''
|
|11
|
|10
|
|9
|
|8
|-
|4
|
|4
|
|4
|
|4
|
|4
|
|4
|
|4
|}
Intervallien syklit ovat symmetrisiiä ja näin ollen ei-diatonisia. Kuitenkin seitsemän sävelen osuus sarjasta C5, [[kvintti]]en sarjasta, muodostaa diatonisen [[duuri]]asteikon. [[Romantiikan musiikki|Romantiikan musiikissa]] kuten [[Gustav Mahler]]in ja [[Richard Wagner]]in sävellyksissä sykliset tonaaliset sointukulut muodostavat linkin syklisestä sävelsarjasta modernistien kuten Bartókin, [[Alexander Scriabin]]in, [[Edgard Varèse]]n ja Wienin koulun [[atonaalinen musiikki|atonaaliseen musiikkiin]]. Samaan aikaan tällaiset sointukulut merkitsivät luopumista tonaalisuudesta.
Ensimmäinen laajempi sävellys, joka johdonmukaisesti perustuu sävelten symmetrisiin suhteisiin, oli todennäköisesti [[Alban Berg]]in ''Kvartetti'', opus 3 (1910).
<!-- {{käännettävä}}
====Equivalency====
[[Tone row]]s or [[pitch class]] [[Set theory (music)|sets]] which are [[Invariant (music)|invariant]] under
[[Permutation (music)|retrograde]] are horizontally symmetrical, under [[inversion (music)|inversion]] vertically.
See also [[Asymmetric rhythm]].
===In other arts and crafts===
[[Tiedosto:Celticknotwork.png|frame|[[Celtic knot]]work]]
The concept of symmetry is applied to the design of objects of all shapes and sizes. Other examples include [[beadwork]], [[furniture]], [[sand painting]]s, [[knot]]work, [[masks]], [[musical instruments]], and many other endeavors.
-->
===Estetiikassa===
Symmetrian ja [[estetiikka|estetiikan]] suhde on monimutkainen. Jotkin yksinkertaiset symmetriat, erityisesti bilateraalinen symmetria, näyttävät olevan syvällisesti juurtuneet ihmsiten käsitykseen toisten elävien olentojen terveydestä ja kunnosta, minkä osoittaa yksinkertainen koe, jossa kauniiden kasvojen kuvaa vääristetään toiselta puolelta ja kysytään katsojilta, kuinka viehättävä
tuloksena saatu kuva on. Näin ollen ihmisellä näyttää olevan synnynnäinen mieltymys sellaisiin symmetrioihin, jotka jäljittelevät biologiaa, mikä vuorostaan saa aikaan voimakkaan taipumuksen tehdä keinotekoiset esineet samaan tapaan symmetrisiksi. Biologisesti inspiroitujen symmetrioiden suuren merkityksen ymmärtämiseksi on vain kuviteltava, kuinka vaikea olisi markkinoida hyvin epäsymmetrisiä autoja tai muita kulkuneuvoja.
Toinen symmetrian erityispiirre on sen yksinkertaisuus, mikä vuorostaan viittaa turvallisuuteen ja tuttuuteen. Esimerkiksi hyvin symmetrinen huone on samalla sellainen, jossa mikä tahansa poissa paikoiltaan oleva tai potentiaalisesti uhkaava voidaan helposti ja välittömästi tunnistaa. Esimerkiksi henkilöt, jotka ovat kasvaneet täysin [[suora kulma|suorakulmaisissa]] taloissa, joissa on runsaasti keskenään täysin samanlaisia esineitä, voivat kokea ensimmäisen kokemuksensa oleskelusta ei-suorakulmaisessa huoneessa, jossa ei ole kahta samanlaista esinettä, varsin ärsyttäväksi. Symmetria voi näin ollen olla mukavuuden lähde, ei vain biologisen terveyden vaan myös turvallisen ja hyvin ymmärretyn elinympäristön osoittimena.
Toisaalta liiallinen symmetria vaikuttaa helposti kyllästyttävältä ja mielenkiinnottomalta. Erityisesti ihmisillä on voimakas taipumus käyttää hyväkseen tai tutkia uusia mahdollisuuksia, ja äärimmäisissä muodossaan symmetria voi muodostua esteeksi sellaisille mahdollisuuksille. Useimmat henkilöt suosivat kuvioita, joissa ilmenee tietty määrä yksinkertaisuutta ja symmetriaa, mutta kuitenkin tarpeeksi monimutkaisuutta tekemään ne mielenkiintoisiksi.<ref>{{kirjaviite|Tekijä = Rudolf Arnheim | Nimeke = Visual Thinking|Julkaisija = University of California Press|Vuosi = 1969}}</ref>
Vielä yksi mahdollisuus on, että kun symmetriat muodostuvat kovin mutkikkaiksi tai haastaviksi, ihmismielellä on taipumus "virittää ne pois päältä" ja tulkita ne vielä toisella tavalla: [[kohina]]na, joka ei sisällä hyödyllistä informaatiota.
Lopuksi symmetrian havaitseminen ja arvostus riippuu myös kulttuurisesta taustasta. Esimerkiksi paljon suurempi mutkikkaiden geometristen symmetrioiden käyttö monissa islamilaisissa kulttuureissa tekee todennäköisemmäksi, että sellaisista kulttuureista peräisin olevat henkilöt arvostavat sellaisia taidemuotoja, tai päinvastoin kapinoivat niitä vastaan.
Kuten monissa inhimillisissä toiminnoissa, näiden monien tekijöiden yhteistulos on, että symmetrian tehokas käyttö taiteessa ja arkkitehtuurissa on monimutkainen, intuitiivinen asia ja riippuu suuresti niiden henkilöiden kyvistä, joiden on sovellettava sellaisia tekijöitä luovassa työssään. Rakenteen, värin, mittasuhteiden ja muiden tekijöiden tavoin symmetria on voimakas aines sellaisissa synteeseissä; tarvitsee vain tutkia [[Taj Mahal]]ia sen toteamiseksi, kuinka suuri osuus symmetrialla on kohteiden esteettiseen puoleensavetävyyteen.
[[Modernistinen arkkitehtuuri]] hylkää symmetrian. Sen edustajat ovat sanoneet, että vain huono arkkitehti luottaa symmetriaan. Symmetristen muotojen, massojen ja rakenteiden sijasta modernistinen arkkitehtuuri perustuu siipirakennuksiin ja massojen tasapainoon. Jotkut ihmiset pitävät rakennusten ja rakennelmien epäsymmetrisiä muotoja vallankumouksellisina, toisten mielestä ne ovat levottomia, kyllästyttäviä ja luonnottomia.
Esimerkkejä symmetrian tietoisemmasta käytöstä voidaan löytää [[M. C. Escher]]in taiteesta.
== Viitteet ==