Ero sivun ”Tasasivuinen kolmio” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
lisäyksiä ja kuvia, lähteitä ja asiaa |
|||
Rivi 1:
[[Kuva:Triangle.Equilateral.svg|right|250px]]
'''Tasasivuinen kolmio''' on [[geometria]]ssa [[kolmio]], jonka kaikki [[Sivu (geometria)|sivut]] ovat yhtä pitkiä.
==Yleiset ominaisuudet==
[[File:Equilateral-triangle-heights.svg|thumb|300px|Tasasivuisessa kolmiossa sivut <math>a</math>, <math>b</math> ja <math>c</math> ovat yhtäpitkät. Kolmion korkeusjanoilla <math>h_a</math>, <math>h_b</math> ja <math>h_c</math> on yhtäaikaa myös sivunpuolittajan, kulmanpuolittajan ja keskinormalin ominaisuudet.]]
=== Kulmanpuolittaja, keskijana, korkeusjana, keskinormaali ja 60° kulmat ===
Tasasivuisen kolmion kaikkien kulmien voidaan osoittaa olevan 60°. Koska tasasivuinen kolmio on määritelmän mukaan myös [[tasakylkinen kolmio]], jossa huipuksi valitun kulman molemmat kyljet ovat yhtäpitkät. Jos tasasivuinen kolmio taitetaan kahtia viemällä yhtäpitkät kyljet päällekkäin, saadaan kaksi [[Yhtenevyys|yhtenevää]] kolmiota. Tasasivuisessa kolmiossa taitos muodostaa janan, joka on samalla kertaa [[kulmanpuolittaja]], [[sivunpuolittaja]] eli mediaani, [[korkeusjana]] ja [[keskinormaali]]. Taitoksen geometriasta johtuu myös, että tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Edellinen tarkastelu voidaan suorittaa myös tasasivuisen kolmion kahdelle muulle kulmalle ja todeta, että kussakin tilanteessa kantakulmat ovat pareittein samankokoiset. Koska kaikkien kulmien summa tulee olla 180° ja ne ovat keskenään yhtä suuret, on niiden oltava 60°.<ref name=mw_eqvi/><ref name=vaisala25/>
Janan pituus voidaan laskea edellä kuvatusta kolmion puolikkaasta [[Pythagoraan lause]]en avulla, koska jana on yhtä aikaa sekä sivun puolittaja että korkeusjana. Silloin kolmion hypotenuusa on tasasivuisen kolmion sivun pituus <math>a</math>, toinen kateetti kannan puolikkaan pituus <math>\tfrac{1}{2}a</math>, josta korkeusjanan pituus <math>h</math> voidaan laskea
:<math>h=\sqrt{a^2-\left (\tfrac{1}{2}a\right )^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a.</math> <ref name=mw_eqvi/>
Voidaan vielä todeta, ettei millään muulla kuin tasasivuisella kolmiolla ole kaikki kolme kulmanpuolittajaa, keskijanaa, korkeusjanaa ja keskinormaalia yhtäpitkät.
=== Muistikolmio ===
[[Tiedosto:30-60-90.svg|thumb|250px|Korkeusjana on tasasivuisessa kolmiossa samalla kulmanpuolittaja, joka jakaa huippukulman puoliksi.]] Tasasivuisen kolmion korkeusjana on samalla kulmanpuolittaja, joka jakaa huippukulman puoliksi. Korkeusjanan avulla saadaan kulmat 30° ja 60° esille, ja Pythagoraan lauseen avulla voidaan päätellä mitat 1, 2 ja <math>\sqrt{3}.</math>
=== Merkilliset pisteet ===
Kolmion merkilliset pisteet ovat neljä pistettä, jotka muodostuvat kukin kolmen suoran leikkauksessa. Sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessä pisteessä, samoin tekevät kulmien puolittajat toisessa pisteessä, kolmion korkeussuorat ja kolmion sivujen keskijanat omissa pisteissään. Merkillisiksi nämä pisteet tekevät sen siekan, että oli kolmio millainen hyvänsä, leikkauspiste syntyy itsestään.<ref name=vaisala81/>
[[File:Regular triangle 1.svg|thumb|300px|Kolmion sisään piirretyn ympyrän säde on <math>r</math> ja kolmion ulkopuolelle piiretyn <math>R</math>.]]
Kolmion sivunpuolittajat leikkaavat toisensa kolmion sisäpisteessä, jota kutsutaan tämän vuoksi painopisteeksi. Jos kolmiota tuetaan kynänkärjellä altapäin sen painopisteestä, jää se tasapainoon kallistumatta mihinkään suuntaan. Sivunpuolittajat leikkaavat toisensa aina suhteessa <math>1:2</math>, jolloin lyhyenpi osa <math>r</math> on sivua vasten ja piempi osa <math>R</math> kärjen puolella. Tasasivuisen kolmion sivunpuolittajan osien pituudet ovat
:<math>r=\frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a</math> <ref name=mw_eqvi/><ref name=maol28/>
ja
:<math>R=\frac{2}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a,</math> <ref name=mw_eqvi/><ref name=maol28/>
jolloin
:<math>R=2r= \tfrac{2}{3} h,</math> <math>r=\tfrac{1}{2} R = \tfrac{1}{3} h</math> ja <math>R+r=h.</math> <ref name=maol28/>
Johtuen tasasivuisen kolmion yksinkertaisesta symmetriasta, sijaitsevat kolmion merkilliset pisteet eli korkeusjanojen leikkauspiste ortokeskus, kulmanpuolittajien leikkauspiste, keskinormaalien leikkauspiste ja painopiste poikkeuksellisesti samassa paikassa.
=== Kolmion sisälle ja ulos piirretty ympyrät ===
Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa pisteessä, joka on samalla kolmion sisälle piirretyn ympyrän keskipiste. Koska tasasivuisessa kolmiossa kulmanpuolittajalla on myös sivunpuolittajan ominaisuudet, on ympyrän keskipiste myös sen painopiste. Ympyrän säde on edellämainittu <math>r.</math> <ref name=incirc/>
Kolmion keskinormaalit leikkaavat toisensa pisteessä, joka on samalla kolmion ulkopuolelle piirretyn ympyrän keskipiste. Tasasivuisessa kolmiossa tämä on samalla sekä kolmion sisälle että sen ulkopuolelle piirretyn ympyrän keskipiste. Ulkopuolisen ympyrän säde on edellämainittu <math>R.</math> <ref name=circumcirc/>
===Yhdenmuotoisuus ===
Tasakylkisillä kolmioilla on aina 60° kulmat, vaikka ne olisivat eri kokoisia. Tämän vuoksi ne ovat keskenään [[yhdenmuotoiset kolmiot|yhdenmuotoisia]].<ref name=mw_eqvi/>
== Laskukaavoja ja tunnettuja teoreemoja ==
Pinta-ala <math>A= \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} .</math> <ref name=maol28/>
Sivun pituus voidaan sanoa pinta-alan avulla <math>s = \frac{2\sqrt[2]{A}}{\sqrt[4]{3}} .</math>
Tasasivuisen kolmion korkeus saadaan kertomalla sen sivun pituus luvulla <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>, joka on noin 0,866. Sen pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivun neliö kerrottuna luvulla <math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math>, joka on noin 0,433.
=== Vivianin lause ===
[[Vivianin lause]]en mukaan tasasivuisen kolmion sivujen etäisyydet kolmion sisällä olevasta [[piste (geometria)|pisteestä]] ovat yhteenlaskettuna sama kuin kolmion korkeus.<ref name=vivian/>
==Geometrinen konstruointi==
[[Tiedosto:Equilateral Triangle Inscribed in a Circle 240px.gif|thumb|250px|Tasasivuisen kolmion piirtäminen vain viivainta ja harppia käyttäen.]]Jos paperilta osoitetaan piste, voidaan sen ympäri piirtää ympyrä millä säteellä hyvänsä. Viivainella vedetään ympyrälle keskipisteen kautta halkaisija. Nyt voidaan piirtä halkaisijalle keskinormaali halkaisijan päätepisteistä piirettyjen kaarien avulla. Tälle keskinormaalille, joka on jana keskipisteestä ympyrän kaarelle, voidaan myös piirtää keskinormaali vastaavalla tavalla. Tästä keskinormaalista ympyrä erottaa janan, joka on tasasivuisen kolmion yksi sivu. Sivun vastainen kärki löytyy halkaisijan keskinormaalilta ympyrän kehältä keskipisteen toiselta puolelta.<ref name=mw_constr/>
==Lähteet==
*{{Kirjaviite | Tekijä =[[Kalle Väisälä|Väisälä Kalle]] | Nimeke =Geometria | Vuosi =1959 | Julkaisupaikka =Porvoo | Julkaisija =Wsoy | www =http://solmu.math.helsinki.fi/2011/geometria.pdf | Tiedostomuoto =pdf | Viitattu = }}
*{{Kirjaviite | Tekijä =Seppänen, Raimo et al. | Nimeke =MAOL | Vuosi =1999 |Selite =(lukion taulukkokirja) | Julkaisupaikka =Helsinki | Julkaisija =Otava | Tunniste =ISBN 951-1-20607-9 | Viitattu =17.12.2012 }}
* {{Verkkoviite | osoite = http://users.jyu.fi/~laurikah/Geometria/Geometria2006.pdf | nimeke = Geometria | tekijä = Kurittu Lassi | tiedostomuoto = pdf | selite = luentomoniste| julkaisu = | ajankohta =2006 | julkaisupaikka =Jyväskylän | julkaisija =Jyväskylän Yliopisto | viitattu = }}
===Viitteet===
{{viitteet|viitteet=
*<ref name=vaisala25>Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s.25-26 </ref>
*<ref name=vaisala81>Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 81</ref>
*<ref name=maol28>Seppänen, Raimo et al., MAOL, s.28-29</ref>
* <ref name=vivian>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/VivianisTheorem.html | Nimeke = Viviani's Theorem | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
*<ref name=mw_constr>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/GeometricConstruction.html| Nimeke = Geometric Construction | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
*<ref name=mw_eqvi>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/EquilateralTriangle.html| Nimeke = Equilateral Triangle | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
*<ref name=incirc>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Incircle.html| Nimeke = Incircle | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
*<ref name=circumcirc>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Circumcircle.html| Nimeke = Circumcircle | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
}}
==Aiheesta muualla==
* {{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/EquilicQuadrilateral.html | Nimeke = Equilic Quadrilateral | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}
* {{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/EquilateralCevianTrianglePoint.html | Nimeke = Equilateral Cevian Triangle Point | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}
* {{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/EquilateralPolygon.html| Nimeke = Equilateral Polygon
| Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}
[[Luokka:Monikulmiot]]
[[ar:مثلث متساوي الأضلاع]]
[[az:Düzgün üçbucaq]]
[[ms:Segi tiga sekata]]
[[ca:Triangle equilàter]]
[[cv:Тĕрĕс виçкĕтеслĕх]]
[[cs:Rovnostranný trojúhelník]]
[[sn:Gonyonhatu tsazakose]]
[[da:Ligesidet trekant]]
[[de:Gleichseitiges Dreieck]]
[[et:Võrdkülgne kolmnurk]]
[[el:Ισόπλευρο τρίγωνο]]
[[en:Equilateral triangle]]
[[es:Triángulo equilátero]]
[[eo:Egallatera triangulo]]
[[eu:Hiruki aldeberdin]]
[[fa:مثلث متساویالاضلاع]]
[[fr:Triangle équilatéral]]
[[ko:정삼각형]]
[[hsb:Runobóčny třiróžk]]
[[hr:Jednakostraničan trokut]]
[[is:Jafnhliða þríhyrningur]]
[[it:Triangolo equilatero]]
[[he:משולש שווה-צלעות]]
[[ka:ტოლგვერდა სამკუთხედი]]
[[mk:Рамностран триаголник]]
[[ml:സമഭുജത്രികോണം]]
[[nl:Gelijkzijdige driehoek]]
[[ja:正三角形]]
[[no:Likesidet trekant]]
[[nn:Likesida trekant]]
[[km:ត្រីកោណសម័ង្ស]]
[[pl:Trójkąt równoboczny]]
[[pt:Triângulo#Tipos de triângulos]]
[[ro:Triunghi echilateral]]
[[ru:Правильный треугольник]]
[[simple:Equilateral triangle]]
[[sk:Rovnostranný trojuholník]]
[[sl:Enakostranični trikotnik]]
[[sr:Једнакостранични троугао]]
[[sv:Liksidig triangel]]
[[ta:சமபக்க முக்கோணி]]
[[th:รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า]]
[[vi:Tam giác đều]]
[[tr:Eşkenar üçgen]]
[[uk:Правильний трикутник]]
[[vls:Gelykzydigen drieoek]]
[[zh:正三角形]]
| |||