Ero sivun ”Planckin laki” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
enemmän tietoa + johtaminen |
||
Rivi 1:
[[Kuva:Planckdistribution.jpg|thumb|300px|Mustan kappaleen säteilyn spektri. <math>f(x)dx \propto \frac{x^3 dx}{e^x - 1}</math>]]
'''Planckin laki''' on [[sähkömagneettisuus|sähkömagneettisen]] [[kvanttiteoria]]n tärkeimpiä tuloksia, jonka johti [[Max Planck]] tutkiessaan niin sanottua [[mustan kappaleen säteily]]ä. Planckin
:<math>u(\nu)d \nu = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h \nu / {kT}} - 1}d \nu</math>
missä ''h'' on [[Planckin vakio]], c [[valonnopeus]], k [[Boltzmannin vakio]], sekä T mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila.
Planckin lain johtaminen etenee samalla tavalla, kuin Rayleigh-Jeansin lain johtaminen, mutta energia on kvantittoitunut. Tällä vältetään ultraviolettikatastrofi ja mustan kappaleen kokonaissäteilyteho on äärellinen.
Tarkastellaan vakiolämpötilan T alaisuudessa sähkömagneettisia aaltoja suljetussa kuutiossa, jonka sivun pituus on L. Kuutio toimii siis mustana kappaleena. SM aallot ovat vangittuja laatikkoon, joten ne muodostavat seisovia aaltoja sen sisällä. Sähkömagneettisilla aalloilla on sekä sähkö- että magneettikomponentit. Keskitytään sähkökomponenttiin.
Aaltoyhtälö sähkökomponentille E kolmessa ulottuvuudessa noudattaa: <math>\nabla^2E = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2E}{\partial t^2}</math>, missä c = aaltoliikkeen etenemisnopeus, tässä valonnopeus. Voimme ratkaista yhtälön separoimalla muuttujat x-, y-, ja z-suunnissa: <math>E(x,y,z) = sin(k_x x)sin(k_y y)sin(k_z z)</math>. Huomaa, että eksplisiittinen aikariippuvuus on jätetty pois; voimme lisätä sen tosin takaisin myöhemmin, jos tarvitsemme.
Ratkaisua vastaa aaltovektori <math>\mathbf{k} = (k_x, k_y, k_z)</math> jolle on voimassa <math>|\mathbf{k}|^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math>, missä <math>\omega</math> on aaltoliikkeen kulmataajuus.
Jokaisessa ulottuvuudessa sovitamme kokonaislukumäärän puolikkaita aallonpituuksia matkalle L: <math>k_x = \frac{l \pi}{L}</math>, <math>k_y = \frac{m \pi}{L}</math>, <math>k_z = \frac{n \pi}{L}</math>, missä l, m, ja n ovat kokonaislukuja. Tästä seuraa <math>k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2
= \frac{\pi^2}{L^2}(l^2 + m^2 + n^2)</math> ja lopuksi <math>\frac{\omega^2}{c^2} = \frac{\pi^2}{L^2}(l^2 + m^2 + n^2)
= \frac{\pi^2 p^2}{L^2}</math>, missä <math>p^2 = l^2 + m^2 + n^2</math>.
Jokainen kombinaatio (''l'', ''m'', ''n'') on itsenäinen systeemin [[moodi]].
''Suurelle'' järjestelmälle voimme määrittää moodien määrän taajuusintervallille <math>\nu -> \nu + d\nu</math> laskemalla pisteiden määrän ''k''-avaruudessa intervallilla <math>k -> k + dk</math>, joka vastaa intervallia <math>\nu -> \nu + d\nu</math>. Koska ''l'', ''m'', ja ''n'' ovat positiivisia kokonaislukuja, tarvitsee meidän tarkastella vain yhtä kahdeksasosaa ''p''-säteisestä pallosta. ''p''-säteisen ja d''p''-paksuisen pallomaisen pinnan tilavuus on <math>4 \pi p^2dp</math>, joten moodien määrä oktantissa on <math>dN(p) = N(p)dp
= \frac{1}{8}4 \pi p^2dp</math>. Koska <math>k = \pi p / L</math> ja <math>dk = \pi dp/L</math>, saamme <math>dN(p) = \frac{L^3}{2\pi^2}k^2dk</math>. Koska <math>L^3 = V</math>, eli laatikon tilavuus ja <math>k = 2 \pi \nu / c</math>, voimme kirjoittaa lausekkeen seuraavaan muotoon: <math>dN = \frac{V}{2 \pi^2}k^2dk
= \frac{V}{2 \pi^2}\frac{8 \pi^3 \nu^2}{c^3}d \nu
= \frac{4 \pi \nu^2 V}{c^3}d \nu
</math>
Sähkömagneettisille aalloille jokaista moodia (''l'', ''m'', ''n'') vastaa kaksi itsenäistä polarisaatiota, joten <math>dN = \frac{8 \pi \nu^2 V}{c^3}d \nu</math> ja yksikkötilavuutta kohti <math>dN = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}d \nu</math>.
[[Valosähköinen ilmiö]] osoitti, että valo koostuu [[kvantti|kvanteista]], [[fotoni|fotoneista]], joiden on energia E suhteessa säteilyn taajuuteen <math>\nu</math> kaavan <math> E = h \nu \,\!</math> mukaisesti, missä ''h'' on [[Planckin vakio]]. Täten moodin energia ei voi ottaa mitä tahansa arvoa, vaan ainoastaan <math>h \nu</math>:n kerrannaisen. Moodin energia on tällöin <math>E(\nu) = nh \nu</math>, jossa yhdistämme ''n'' fotonia kyseessä olevaan moodiin.
Olkoon kaikki moodit (ja fotonit) [[termaalisessa tasapaino]]ssa (absoluuttisessa) lämpötilassa T. Ollakseen termaalisessa tasapainotilassa, systeemin on voitava vaihtaa energiaa moodien kesken ja tämä tapahtuu hiukkasten kesken kappaleen seinissä tai sisällä. Voimme käyttää [[Boltzmannin jakauma]]a määrittämään eri moodien olemassa oloa. Todennäköisyys ''p(n)'', että moodi ''n'' energialla ''E''<sub>''n''</sub> on energiallisesti olemassa on
:<math>p(n) = \frac{e^{-E_n/kT}}{\sum_{n=0}^{\infty}e^{-E_n/kT}}</math>
Moodin, jonka taajuus on <math>\nu</math> keskienergia on siten
:<math>\bar{E_\nu} = \sum_{n=0}^{\infty}E_n p(n)
= \frac{\sum_{n=0}^{\infty}E_ne^{-E_n/kT}}{\sum_{n=0}^{\infty}e^{-E_n/kT}}
= \frac{\sum_{n=0}^{\infty}nh\nu e^{-nh\nu /kT}}{\sum_{n=0}^{\infty}e^{-nh\nu /kT}}
</math>
Sijoitetaan <math>x = e^{-h\nu / kT}</math>, jolloin saamme
:<math>\bar{E_\nu} = h\nu \frac{\sum_{n=0}^{\infty}nx^n}{\sum_{n=0}^{\infty}x^n}
=h\nu x \frac{\frac{1}{(1-x)^2}}{\frac{1}{1-x}}
</math>
Joten
:<math>\bar{E_\nu} = h\nu \frac{x}{1-x}
=\frac{h\nu}{x^{-1} - 1}
=\frac{h\nu}{e^{h\nu / kT} - 1}
</math>
Tällöin säteilyn energiatiheys yksikkötilavuudessa yksikkötaajuusintervallia kohti on
:<math>du = u(\nu)d \nu
= \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}\bar{E_\nu}d \nu</math>
josta
:<math>u(\nu) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}\bar{E_\nu}
=\frac{8 \pi h \nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu / kT} - 1}
</math>.
[[Luokka:Kvanttimekaniikka]]
| |||