Ero sivun ”Ultraviolettikatastrofi” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p kh |
Lisäsin matemaattisen käsittelyn, jäsentelin ja korjasin pari virhettä. |
||
Rivi 3:
Sitä kutsuttiin "ultravioletiksi" katastrofiksi, koska [[ultraviolettisäteily]]llä oli suurin tunnettu [[taajuus]] tuohon aikaan, sillä [[röntgensäteily|röntgen-]] ja [[gammasäteily]]ä ei ollut vielä löydetty.
Ultraviolettikatastrofi on seurausta klassisen tilastomekaniikan tasajakoteoreemasta, jonka mukaan kaikkien tasapainossa olevan järjestelmän moodien (vapausasteiden) keskimääräinen energia on 0,5*kT.
Klassisen sähkömagnetismin mukaan, sähkömagneettisten moodien lukumäärä 3-ulotteisessa kaviteetissa per taajuus, on suhteessa taajuuden neliöön. Tästä seuraa, että säteilytehon per taajuus pitäisi seurata [[Rayleigh-Jeansin laki]]a ja olla suhteessa taajuuden neliöön.
Siksi sekä annetun taajuuden teho että kokonaissäteilyteho kasvavat äärettömyyksiin kun taajuus kasvaa korkeammaksi ja korkeammaksi, mikä on selvästikin mahdotonta.
==Ultraviolettikatastrofin matemaattinen käsittely==
Max Planck ratkaisi tämän ongelman esittämällä, että sähkömagneettinen energia ei seurannut klassista määritelmää vaan, että se pystyi vain oskilloimaan tai emittoimaan tietyn kokoisia energiapaketteja, joiden suuruus on suhteessa taajuuteen (kuten [[Planckin laki]] esittää). Tällä on se vaikutus, että mahdollisten moodien lukumäärä vähenee annetulla energialla korkeilla taajuuksilla kuten myös keskimääräinen energia noilla taajuuksilla. Säteilyteho lähestyy lopulta nollaa taajuuden kasvaessa äärettömyyksiin ja kokonaissäteilytehosta tulee äärellinen.▼
Tarkastellaan vakiolämpötilan T alaisuudessa sähkömagneettisia aaltoja suljetussa kuutiossa, jonka sivun pituus on L. SM aallot ovat vangittuja laatikkoon, joten ne muodostavat seisovia aaltoja sen sisällä. Sähkömagneettisilla aalloilla on sekä sähkö- että magneettikomponentit. Keskitytään sähkökomponenttiin.
Aaltoyhtälö sähkökomponentille E kolmessa ulottuvuudessa noudattaa: <math>\nabla^2E = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2E}{\partial t^2}</math>, missä c = aaltoliikkeen etenemisnopeus, tässä valonnopeus. Voimme ratkaista yhtälön separoimalla muuttujat x-, y-, ja z-suunnissa: <math>E(x,y,z) = sin(k_x x)sin(k_y y)sin(k_z z)</math>. Huomaa, että eksplisiittinen aikariippuvuus on jätetty pois; voimme lisätä sen tosin takaisin myöhemmin, jos tarvitsemme.
Ratkaisua vastaa aaltovektori <math>\mathbf{k} = (k_x, k_y, k_z)</math> jolle on voimassa <math>|\mathbf{k}|^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math>, missä <math>\omega</math> on aaltoliikkeen kulmataajuus.
Jokaisessa ulottuvuudessa sovitamme kokonaislukumäärän puolikkaita aallonpituuksia matkalle L: <math>k_x = \frac{l \pi}{L}</math>, <math>k_y = \frac{m \pi}{L}</math>, <math>k_z = \frac{n \pi}{L}</math>, missä l, m, ja n ovat kokonaislukuja. Tästä seuraa <math>k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2
= \frac{\pi^2}{L^2}(l^2 + m^2 + n^2)</math> ja lopuksi <math>\frac{\omega^2}{c^2} = \frac{\pi^2}{L^2}(l^2 + m^2 + n^2)
= \frac{\pi^2 p^2}{L^2}</math>, missä <math>p^2 = l^2 + m^2 + n^2</math>.
Jokainen kombinaatio (''l'', ''m'', ''n'') on itsenäinen systeemin [[moodi]].
''Suurelle'' järjestelmälle voimme määrittää moodien määrän taajuusintervallille <math>\nu -> \nu + d\nu</math> laskemalla pisteiden määrän ''k''-avaruudessa intervallilla <math>k -> k + dk</math>, joka vastaa intervallia <math>\nu -> \nu + d\nu</math>. Koska ''l'', ''m'', ja ''n'' ovat positiivisia kokonaislukuja, tarvitsee meidän tarkastella vain yhtä kahdeksasosaa ''p''-säteisestä pallosta. ''p''-säteisen ja d''p''-paksuisen pallomaisen pinnan tilavuus on <math>4 \pi p^2dp</math>, joten moodien määrä oktantissa on <math>dN(p) = N(p)dp
= \frac{1}{8}4 \pi p^2dp</math>. Koska <math>k = \pi p / L</math> ja <math>dk = \pi dp/L</math>, saamme <math>dN(p) = \frac{L^3}{2\pi^2}k^2dk</math>. Koska <math>L^3 = V</math>, eli laatikon tilavuus ja <math>k = 2 \pi \nu / c</math>, voimme kirjoittaa lausekkeen seuraavaan muotoon: <math>dN = \frac{V}{2 \pi^2}k^2dk
= \frac{V}{2 \pi^2}\frac{8 \pi^3 \nu^2}{c^3}d \nu
= \frac{4 \pi \nu^2 V}{c^3}d \nu
</math>
Sähkömagneettisille aalloille jokaista moodia (''l'', ''m'', ''n'') vastaa kaksi itsenäistä polarisaatiota, joten <math>dN = \frac{8 \pi \nu^2 V}{c^3}d \nu</math> ja yksikkötilavuutta kohti <math>dN = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}d \nu</math>.
Sähkömagneettiset aallot ovat [[termodynaaminen_tasapaino|termodynaamisessa tasapainossa]] tietyssä lämpötilassa T. Säteily saavuttaa termodynaamisen tasapainon vuorovaikuttamalla boksin seinän materiaalin kanssa. Jokainen aalto on yhdistetty [[harmoninen_värähtelijä|harmoniseen värähtelijään]] seinässä, jolla on sama taajuus. Olkoon aaltomoodia vastaava energia E. Tällöin säteilyn energiatiheys yksikkötilavuudessa yksikkötaajuusintervallia kohti on
<math>du = u(\nu)d \nu
= \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}Ed \nu</math> josta <math>u(\nu) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}E</math>. Tasajakoteoreeman (engl. ''theorem of equipartition'') mukaan harmonisen värähtelijän keskienergia termaalisessa tasapainossa on <math>\bar{E} = kT</math>, missä k = [[Boltzmannin vakio]] ja T systeemin lämpötila. Tämä siis seurausta, koska harmonisella värähtelijällä on kaksi vapausastetta, eli kaksi itsenäistä jonkun suureen neliöstä riippuvaa energiatermiä vaikuttamassa sen kokonaisenergiaan, ja jokainen vapausaste saa keskimäärin energiaa 0,5kT edestä termaalisessa tasapainossa. <math>\bar{E}</math> on siis jokaiseen aaltomoodiin yhdistettävä energia, jolloin mustan kappaleen spektri klassisesti olisi <math>u(\nu) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}\bar{E}
= \frac{8 \pi \nu^2 kT}{c^3}</math>.
Tämä kuitenkin divergoi äärettömään suurilla taajuuksilla
:<math>\int_{0}^{\infty} u(\nu)d \nu
= \int_{0}^{\infty} \frac{8 \pi \nu^2 kT}{c^3}d \nu -> \infty
</math>
eli päädymme ultraviolettikatastrofiin. Huolimatta epäonnistumesta korkeilla taajuuksilla, tämä laki toimii hyvin pienillä taajuuksilla.
==Ultraviolettikatastrofin ratkaisu==
▲Max Planck ratkaisi
Säteilytehon kaava ideaalisysteemiä (musta kappale) varten oli yhdenmukainen kokeiden kanssa ja sitä alettiin kutsua [[Planckin laki mustan kappaleen säteilystä|Planckin laiksi mustan kappaleen säteilystä]]. Aikaisempien kokeiden perusteella, Planck pystyi määrittelemään sen parametrin arvon, joka nykyisin tunnetaan [[Planckin vakio]]na. Energiapaketteja alettiin myöhemmin kutsua [[fotoni|fotoneiksi]] ja ne olivat avainasemassa sähkömagneettisuuden kvanttimäärittelyssä.
==Viitauksia==
*Charles Kittel and Herbert Kroemer, Thermal Physics, 2nd ed. (W. H. Freeman and Company: New York, 1980), kappale 4.
*Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, and Franck Laloë, Quantum Mechanics: Volume One (Hermann: Paris, 1977), sivut 624–626.
| |||