Wikipedia

Ero sivun ”Todennäköisyysjakauma” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][katsottu versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
Matematiikkaympäristöjä lisätty + tiheysfunktiosta epämääräinen tieto poistettu
Rivi 1:
'''Todennäköisyysjakauma''' on [[todennäköisyyslaskenta|todennäköisyyslaskennan]] käsite, jolla kuvataan [[satunnaismuuttuja]]n todennäköisyyttä saada tietty arvo. Todennäköisyysjakauman määrittelee [[funktio]], joka kuvaa jokaisen [[reaaliluku]]jen välin todennäköisyydeksi siten, että [[todennäköisyyden aksioomat]] täyttyvät. Täsmällisesti määriteltynä se on [[todennäköisyysmitta]], jonka lähtöjoukko on reaalilukujen [[Borel-joukko]].
 
Jokaisella satunnaismuuttujalla on todennäköisyysjakauma, ja todennäköisyysjakauma sisältää olennaisen tiedon satunnaismuuttujasta. Olkoon ''<math>X''</math> satunnaismuuttuja, jolloin todennäköisyys että se saa arvon väliltä <math>[''a'',''b'']</math> on Pr[''<math>P(a''\leq ≤ ''X'' ≤''\leq b''])</math>.
 
==Kertymä- ja tiheysfunktio==
'''Kertymäfunktio ''' <math>F(x)'' '''</math> (engl. ''cumulative distribution function'', lyh. CDF) kuvaa satunnaismuuttujan ''<math>X''</math> todennäköisyysjakauman yksikäsitteisesti, ja se on määritelty kaikille reaaliluvuille ''<math>x''</math>. Kertymäfunktio määritellään kaavalla
 
:<math> F(x) = \Pr\left[ P(X \leleq x \right]). </math>
 
'''Tiheysfunktio ''' <math>f(x)'' '''</math> (engl. ''probability density function'', lyh. PDF) on kertymäfunktion derivaatta. Sen voi ajatella kertovan todennäköisyyden pisteessä ''x'' (ei päde [[Tasajakauma|tasajakaumanderivaatta]] tapauksessa) ja vastaavan [[histogrammi]]n tasoitettua versiota. Tiheysfunktio on olemassa, jos kertymäfunktio on aidosti [[derivaatta|derivoituva]]. Tällöin on voimassa kaava
:<math> F(a) = \int_{-\infty}^a f(x)\,dx. </math>
 
Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos sen [[otosavaruus]] on [[numeroituva]]. Tällöin kertymäfunktio on [[porrasfunktio]] eli se koostuu äärellisestä määrästä epäjatkuvuuskohtaa merkitseviä hyppyjä. SenDiskreetin satunnaismuuttujan tiheysfunktiota vastaa '''pistetodennäköisyysfunktio''' Pr<math>P(''x'') '''</math> (engl. ''probability mass function'', PMF), joka kertoo diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyyden saada arvo ''<math>x''</math>. Jos ''<math>x''</math> ei kuulu otosavaruuteen, saasen setodennäköisyys arvon <math>0</math>.
 
Kertymäfunktiolla on seuraavat ominaisuudet:
 
* ''<math>F(x)''</math> on ei-laskevavähenevä
* <math>F(-\infty)=0</math> ja <math>F(\infty)=1</math>
* ''<math>F''(x)</math> on oikealta jatkuva
 
== Todennäköisyysjakaumia ==
 
Suluissa annetaan esimerkki jakauman tulkinnasta.
 
===Diskreettejä jakaumia===
{{Pääartikkeli|[[Diskreetti todennäköisyysjakauma]]}}
 
* [[Bernoullin jakauma]] (dikotominen koe)
* [[Binomijakauma]] (toistokoe)
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Todennäköisyysjakauma”