Ero sivun ”Funktioteoria” versioiden välillä

216 merkkiä lisätty ,  9 vuotta sitten
p
Väliotsikoita ja lyhenteiden poistoa
p (r2.7.3) (Botti lisäsi: el:Μιγαδική ανάλυση)
p (Väliotsikoita ja lyhenteiden poistoa)
Suomessa on pitkät perinteet funktioteorian tutkimisessa. Tutkimussuunnan toi Suomeen [[Ernst Lindelöf]], ja kansainvälistä huippua alalla ovat edustaneet mm. [[Rolf Nevanlinna]] ja ainoa suomalainen [[Fieldsin mitali]]sti, [[Lars Ahlfors]].
 
==Analyyttiset funktiot==
Kompleksimuuttujan <math>z\ne\infty</math> funktion <math>f(z)</math>sanotaan olevan analyyttinen kompleksitason alueessa <math>G</math>, jos funktio on yksikäsitteisesti määritelty ko. alueessa ja jos sillä on äärellinen derivaatta alueen <math>G</math> jokaisessa pisteessä. Tämä analyyttisen funktion määritelmä on peräisin kompleksifunktioiden teorian perustajalta [[Augustin Louis Cauchy]]'lta. Kompleksisen funktion derivaatta määritellään vastaavalla tavalla kuin reaalifunktion derivaatta. Erotusosamäärä vain muodostetaan silloin kompleksiluvuilla määritellylle funktiolle, ja rajankäynti derivaatan arvon saavuttamiseksi tapahtuu kompleksilukualueella eli
 
===Cauchyn määritelmä===
:<math>f'(z):=\lim_{h\to 0}{f(z+h)-f(z)\over h}</math>.
Kompleksimuuttujan <math>z\ne\infty</math> funktion <math>f(z)</math> sanotaan olevan analyyttinen kompleksitason alueessa <math>G</math>, jos funktio on yksikäsitteisesti määritelty ko.kyseisessä alueessa ja jos sillä on äärellinen derivaatta alueen <math>G</math> jokaisessa pisteessä. Tämä analyyttisen funktion määritelmä on peräisin kompleksifunktioiden teorian perustajalta [[Augustin Louis Cauchy]]'lta. Kompleksisen funktion derivaatta määritellään vastaavalla tavalla kuin reaalifunktion derivaatta. Erotusosamäärä vain muodostetaan silloin kompleksiluvuilla määritellylle funktiolle, ja rajankäynti derivaatan arvon saavuttamiseksi tapahtuu kompleksilukualueella eli
 
:<math>f'(z):=\lim_{h\to 0}{f(z+h)-f(z)\over h}.</math>.
 
Tässä siis myös luku <math>h</math> on kompleksiluku. Osoittautuu, että analyyttisellä funktiolla on jopa kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat eli se on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva.<ref>http://mathworld.wolfram.com/AnalyticFunction.html</ref>
 
===Riemannin määritelmä===
[[Bernhard Riemann]] määritteli analyyttisen funktion toisella tavoin Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiden toteutumisen avulla. Molemmat määritelmät ovat kuitenkin yhtäpitävät. Riemann lähti liikkeelle siitä, että kompleksifunktio <math>f(x+iy)= u(x,y)+iv(x,y)</math> ( tässä <math>z=x+iy</math>) voidaan esittää kahden reaalimuuttujan x ja y avulla käyttäen kompleksifunktion jakamista reaali- ja imaginääriosiin. Kompleksifunktio <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> on analyyttinen alueessa <math>G</math>, jos "osafunktiot" <math>u(x,y)</math> ja <math>v(x,y)</math> ovat derivoituvia aluetta <math>G</math> vastaavalla reaalisella tasoalueella ja toteuttavat siellä osittaisdifferentiaaliyhtälöt
[[Bernhard Riemann]] määritteli analyyttisen funktion toisella tavalla Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiden toteutumisen avulla. Molemmat määritelmät ovat kuitenkin yhtäpitävät. Riemann lähti liikkeelle siitä, että kompleksifunktio
 
:<math>u_xf(x,y+iy)=v_y u(x,y)</math> ja <math>u_y+iv(x,y)=-v_x(x,y)</math>.
 
[[Bernhard Riemann]] määritteli analyyttisen funktion toisella tavoin Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiden toteutumisen avulla. Molemmat määritelmät ovat kuitenkin yhtäpitävät. Riemann lähti liikkeelle siitä, että kompleksifunktio <math>f(x+iy)= u(x,y)+iv(x,y)</math> ( tässämissä <math>z=x+iy</math>), voidaan esittää kahden reaalimuuttujan <math>x</math> ja <math>y</math> avulla käyttäen kompleksifunktion jakamista reaali- ja imaginääriosiin. Kompleksifunktio <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> on analyyttinen alueessa <math>G</math>, jos "osafunktiot" <math>u(x,y)</math> ja <math>v(x,y)</math> ovat derivoituvia aluetta <math>G</math> vastaavalla reaalisella tasoalueella ja toteuttavat siellä osittaisdifferentiaaliyhtälöt
Näitä yhtälöitä sanotaan Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiksi ja niistä seuraa, että funktioilla <math>u(x,y)</math> ja <math>v(x,y)</math> on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat ao. alueessa.
 
:<math>\begin{align}
Analyyttisyyden määritelmä on yksinkertainen, mutta merkitsee erittäin vahvaa ja rajoittavaa ehtoa kompleksifunktion ominaisuuksille. Se edellyttää muun muassa sitä, että kahden reaalimuuttujan funktiot <math>u(x,y)</math> ja <math>v(x,y)</math> toteuttavat ns. Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön (lyhyesti [[Laplacen yhtälö]]n) kahdessa ulottuvuudessa
u_x(x,y) &= v_y(x,y) \quad \text{ja} \\
u_y(x,y) &= -v_x(x,y).
\end{align}</math>
 
Näitä yhtälöitä sanotaan Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiksi ja niistä seuraa, että funktioilla <math>u(x,y)</math> ja <math>v(x,y)</math> on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat ao.kyseisessä alueessa.
:<math>U_{xx}(x,y)+U_{yy}(x,y)=0</math>.
 
===Merkitys===
Analyyttisyyden määritelmä on yksinkertainen, mutta merkitsee erittäin vahvaa ja rajoittavaa ehtoa kompleksifunktion ominaisuuksille. Se edellyttää muun muassa sitä, että kahden reaalimuuttujan funktiot <math>u(x,y)</math> ja <math>v(x,y)</math> toteuttavat ns.niin sanotun Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön (lyhyesti [[Laplacen yhtälö]]n) kahdessa ulottuvuudessa
 
:<math>U_{xx}(x,y)+U_{yy}(x,y)=0.</math>.
 
Laplacen yhtälön kautta määriteltyjä funktioita, jotka siis ovat kompleksimuuttujan ''reaaliarvoisia'' funktioita, sanotaan [[harmoninen funktio|harmonisiksi funktioiksi]].
 
Jos kompleksifunktiolla on olemassa integraalifunktio eli funktio, jonka derivaatta ko.kyseinen kompleksifunktio on, niin integraalifunktio on analyyttinen. Tässä tapauksessa alkuperäisen kompleksifunktion käyräintegraali alueessa <math>G</math> riippuu vain käyrän päätepisteistä eikä siitä, mitä reittiä pitkin integrointi tehdään. Erityisesti käyräintegraali suljetun käyrän ympäri on aina [[0 (luku)|nolla]].
 
==Lähteet==
* Nevanlinna, Paatero: ''Funktioteoria'', Otava 1963.
 
<references/>
===Viitteet===
{{viitteet}}
 
[[Luokka:Kompleksianalyysi]]
{{tynkä/Matematiikka}}
 
[[Luokka:Kompleksianalyysi]]
 
[[ar:تحليل عقدي]]
56 239

muokkausta