Ero sivun ”Viidennen asteen yhtälö” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Historiaa vähän. Kaipaa vuosilukuja yms. |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 4:
:<math>7x^5+4x^3+1</math>
[[Galois'n ryhmä]] '''Q''':ssa on [[symmetrinen ryhmä|S5]], joka ei ole [[ratkeava ryhmä|ratkeava]]. Ratkaisukaavan löytymättömyyden todisti norjalainen matemaatikko [[Niels Henrik Abel]] vuonna 1824.
== Kysymyksen täsmennys ==
Koko kysymyksenasettelu voidaan ymmärtää monella tavalla väärin.
Ensinnäkin ratkaisu on olemassa, kyse on vain ratkaisun muodosta. Kun yhtälö on viidettä tai yleisemmin paritonta astetta, yhtälön ratkaisuista ainakin yksi on sitäpaitsi reaaliluku.
Toiseksi tarkka likiarvo ratkaisuille ei ole erityisen vaikea laskea. Yksinkertaisesti joskin tehottomasti reaalilukuratkaisun löytää puolitushaulla.
Kolmanneksi on selvää, että ''joillakin'' yhtälöillä ratkaisu on esitettävissä juurenoton ja peruslaskutoimitusten avulla; yhtälön <math>x^5-2=0</math> ratkaisu on tietenkin <math>\sqrt[5]{2}</math>. Tosin juurtamalla ratkeavia 5. asteen yhtälöitä on tietyssä mielessä äärettömän vähän verrattuna ratkeamattomiin.
Neljänneksi on tarkennettava ratkaisu äärelliseen määrään laskutoimituksia. Seuraava todistus ei estä mahdollisen äärettömän ketjujuurtamisen avulla saatavan ratkaisun mahdollisuutta.
Lopuksi juurenotto on vain yksi funktio, eikä missään periaatteellisessa erikoisasemassa. Muiden funktioiden avulla viidennen asteen yhtälökin on ratkaistavissa.
== Ratkeamattomuustodistuksen päälinja ==
| |||