Avaa päävalikko

Muutokset

120 merkkiä lisätty ,  6 vuotta sitten
p
card operaattoriksi
 
===Merkintä===
Joukon <math>\mathrm{S}</math> mahtavuutta merkitään matematiikan kirjallisuudessa joko <math>\operatorname{card} ( S )</math> tai <math>| S |</math>. Joukkojen mahtavuuden suuruus ilmaistaan [[heprea|heprean kielen]] aakkosilla <math>\aleph</math> tai <math>\beth</math>, joka lausutaan ''"alef"'' ja '''"beth"''. Numeroituvan joukon <math>\mathrm{S}</math>, kuten myös luonnollisten lukujen joukon <math>\mathbb{N}</math>, mahtavuutta merkitään [[kardinaaliluku|kardinaaliluvulla]] <math>\operatorname{card} ( \mathrm{S} )=\operatorname{card} ( \mathbb{N} )=\aleph_0</math>. Tämän arvo on <math>\aleph_0 = \infty</math> ja se on pienin ääretön kardinaaliluku. <ref name=ww2/><ref name=ww1/>
 
Jos joukko on ylinumeroituva, joukon mahtavuus ilmaistaan kardinaaliluvuilla <math>\aleph_1</math>, <math>\aleph_2</math>, ..., missä kaikki kardinaaliluvut ovat <math>\aleph_i = \infty</math>, ylinumeroituvuuden laadun mukaan. Kardinaaliluvuilla on suuruusjärjestys <math>\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < ... .</math> <ref name=ww3/>
[[Cantorin lause]]essa, jonka hän julkaisi vuonna 1891, hän väittää, että joukon osajoukkojen joukko on mahtavampi kuin joukko itse. Tämä siksi, ettei ole olemassa bijektiota joukosta <math>S</math> [[potenssijoukko]]on <math>\mathcal{P}(\mathbb{S})</math>. Tämä tarkoittaa, että potenssijoukon mahtavauus ylittää selvästi oman joukon <math>S</math> mahtavuuden.
 
Äärettömästi numeroituvan joukon osajoukkojen joukko on yhtä mahtava kuin <math>\mathbb{R}</math>. Ylinumeroituva joukko on kaikkien luonnollisten lukujen joukon osajoukkojen joukko eli luonnollisten lukujen joukon potenssijoukko <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})</math>. Sen kardinaaliluku on <math>\operatorname{card}(\mathcal{P}(\mathbb{N})) = \operatorname{card}(\mathbb{R}) = \beth_1</math>.
 
Mikäli reaaliluvuista muodostaa potenssijoukon <math>\mathcal{P}(\mathbb{\R})</math>, tulee sen mahtavuudesta vielä suurempi. Sen kardinaaliluku merkitään <math>\operatorname{card}(\mathcal{P}(\mathbb{R})) = \beth_1</math>.
 
Potenssijoukkoja voidaan muodostaa edellisestä potenssijoukosta loputtomasti. Näiden kardinaaliluvut kasvavat <math>\beth_1 < \beth_2 < \beth_3 < ...</math>. <ref name=brown/><ref name=austin/>
*<ref name=ww2>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Aleph-0.html | Nimeke =Aleph-0 | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
*<ref name=ww3>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Aleph-1.html | Nimeke =Aleph-1 | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
*<ref name=austin>{{Verkkoviite | Osoite =http://www.ma.utexas.edu/users/mwilliams/cardinality\operatorname{card}inality.pdf | Nimeke =Cardinality\operatorname{card}inality | Tekijä =Williams, Michael B. | Tiedostomuoto =pdf | Selite =luentomoniste | Ajankohta = | Julkaisupaikka =Texas, USA | Julkaisija =University of Texas at Austin | Kieli ={{en}} }}</ref>
*<ref name=ww4>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Continuum.html | Nimeke =Continuum | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
 
55 853

muokkausta