Ero sivun ”Neutraalialkio” versioiden välillä

360 merkkiä lisätty ,  14 vuotta sitten
p
taulukkoa kauniimmaksi + katso myös + määritelmä artikkelin alkuun
p (luokkavaihdos)
p (taulukkoa kauniimmaksi + katso myös + määritelmä artikkelin alkuun)
[[Joukko|Joukon]] [[alkio]] on '''neutraalialkio''' eli '''identiteettialkio''' eli '''yksikköalkio''' jonkin [[joukko|joukossa]] määritellyn [[binaarioperaattori|binaarioperaattorin]] suhteen, jos se yhdistettynä tähän operaattoriin jättää muut joukon alkiot ennalleen. Esimerkiksi kertolaskun neutraalialkio [[reaaliluku|reaalilukujen]] joukossa on 1, sillä mikä tahansa kerrottuna yhdellä on luku itse.
Matematiikassa '''neutraalialkio''' eli '''identiteettialkio''' on [[joukko|joukon]] erityinen [[alkio (joukko-oppi)|alkio]] joukon jonkin [[binäärioperaattori|binäärioperaattorin]] suhteen. Neutraalialkiosta voidaan myös käyttää nimeä identiteetti, jollei sekaantumisen vaaraa ole. Neutraalialkiosta käytetään myös nimitystä '''yksikköalkio'''.
 
Neutraalialkiosta voidaan myös käyttää nimeä identiteetti, jollei sekaantumisen vaaraa sanan [[identiteetti]] muihin merkityksiin ole.
 
Olkoon * joukossa S määritelty binäärioperaattori. Joukon ''S'' alkio ''e'' on ''vasemmanpuoleinen identiteetti'' operaattorin * suhteen, jos <math>e * a = a</math> kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla a. Samoin jos <math>a * e = a</math> kaikilla joukkoon S kuuluvilla alkioilla a, on e ''oikeanpuoleinen identiteetti'' operaattorin * suhteen. Jos alkio on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen identiteetti, kutsutaan sitä ''molemmanpuoleiseksi identiteetiksi'' tai yksinkertaisesti pelkäksi identiteeksi. Operaattoreilla, joilla on voimassa [[vaihdantalaki]], ei voida erotella eripuoleisia identiteettejä.
 
==Esimerkkejä==
{| class="wikitable"
{| border=1, align=top
!style="width:25%;"|joukko
!joukko!!operaattori!!identiteetti
!style="width:25%;"|operaattori
!style="width:50%;"|identiteetti
|-
|[[reaaliluku|reaaliluvut]]||+yhteenlasku (yhteenlasku + )||[[0 (luku)|0]]
|-
|[[reaaliluku|reaaliluvut]]||kertolasku (kertolasku &middot; )||[[1 (luku)|1]]
|-
|''n'' x ''n'' [[matriisi|neliömatriisi]]||yhteenlasku ( + (yhteenlasku)||[[matriisi#Tavallisia_matriiseja|nollamatriisi]]
|-
|''n'' x ''n'' neliömatriisi||kertolasku (kertolasku &middot; )||[[matriisi#Tavallisia_matriiseja|yksikkömatriisi]]
|-
|kaikki [[funktio]]t joukosta ''M'' itseensä|| [[yhdistetty funktio]] ( <small>o</small> )||[[identiteettifunktio]]
|-
|[[merkkijono]]t|| yhdistäminen || tyhjä merkkijono
|-
|vain kaksi alkiota {''e'', ''f''}||* määritelty niin että<br> ''e''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;= ''f''&nbsp;*&nbsp;''e''&nbsp;=&nbsp;''e'' ja <br> ''f''&nbsp;*&nbsp;''f''&nbsp;= ''e''&nbsp;*&nbsp;''f''&nbsp;=&nbsp;''f''|| ''e'' ja ''f'' ovat molemmat vasemmanpuoleisia neutraalialkioita, mutta ei ole olemassa vasemmanoikean- tai molemmanpuoleista identiteettiä.
|}
 
Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että (''S'',*):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja on olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä ''v'':llä ja oikeaa ''o'':lla. Tällöin <math>v = v * o = o</math>. Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti.
 
== Katso myös ==
* [[Käänteisalkio]]
* [[Ryhmä]]
* [[Monoidi]]
 
[[Luokka:Abstrakti algebra]]