Ero sivun ”Stokastinen prosessi” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p uusi avain luokalle Luokka:Stokastiset prosessit: "*" HotCat-työkalulla |
lisätty <math>-tagit. |
||
Rivi 7:
Edellä luetellut prosessit ovat [[Markovin prosessi|Markovin prosesseja]]: ne alkavat joka hetki uudestaan eli eivät lainkaan muista menneisyyttään. Niiden tulevaisuuteen vaikuttaa vain nykyhetken tilanne eikä se, miten siihen on tultu. Markovin prosessit ovat laaja ja tärkeä stokastisten prosessien osa.
Esimerkki prosessista, joka ei ole Markovin prosessi, on [[satunnaiskulku|satunnaiskulusta]] muokattu jatkuva prosessi, jossa piste liikkuu reaaliakselilla [[kokonaisluku|kokonaisluvun]] kohdalta aikayksikössä tasaisella nopeudella pituusyksikön verran oikealle tai vasemmalle. Sovimme, että kokonaisten aikayksikköjen hetkellä prosessi on aina kokonaisluvun kohdalla arpomassa "lanttia heittämällä" silmänräpäyksellisesti, kumpaan suuntaan mennä. Kun ajan hetki on esimerkiksi <math>t = 2,5</math>, prosessin tiedetään olevan joidenkin peräkkäisten kokonaislukujen välin keskellä. Kuitenkaan ei voida päätellä, onko se menossa oikealle vai vasemmalle, ellei "muisteta", missä se oli hiukan aiemmin. Prosessin jatkoon vaikuttavat siis myös hetkeä <math>t = 2,5</math> aiemmat tapahtumat, joten kyseessä ei ole Markovin prosessi.
Stokastiset prosessit esitetään matematiikassa usein niin, että ajatellaan prosessin kaikkien mahdollisten kulkureittien (polkujen) muodostavan yhden joukon. Sitten prosessin kulkemaa polkua seurataan ajan mukana. Prosessi valitsee jonkin tietyn mahdollisen polun sattumalta. Kuitenkaan polun "ollessa kesken" sen jatkoa ei voida vielä varmasti ennustaa. Polkuja on nimittäin niin paljon, että tähän asti kuljetulla polun alkupäällä on usein vielä ääretön määrä jatkomahdollisuuksia.
Toinen tapa esittää prosesseja on tulkita ne ajan t funktiona x(t). Tällöin x(t) on pisteen sijainti hetkellä t. Joskus tämä yhdistetään myös edellä käsiteltyyn prosessin kaikkien mahdollisten polkujen joukkoon merkitsemällä <math>x(t) = x(t,
Markovin prosessin tapauksessa voidaan prosessin kulkua hallita joskus siirtymätodennäköisyyksien avulla. Kun prosessi on jollakin hetkellä pisteessä x ja sen sijainnin [[tiheysfunktio]] ajan <math>t</math> kuluttua <math>p(t;x,y)</math>, siirtymätodennäköisyys ajan <math>t</math> kuluessa pisteestä <math>x</math> alueeseen <math>A</math> saadaan [[integrointi|integroimalla]] <math>p(t;x,y) y</math>:n suhteen alueen <math>A</math> yli. Saatu integraali, siirtymätodennäköisyys <math>P(t;x,A)</math>, kertoo, millä todennäköisyydellä prosessi löytyy ajan <math>t</math> kuluttua alueesta <math>A</math>, kun sen nykysijainti <math>x</math> tunnetaan.
== Aiheesta muualla ==
| |||